Hoje, no mundo moderno, é impossível ficar sem juros. Ainda na escola, a partir da 5ª série, as crianças aprendem esse conceito e resolvem problemas com esse valor. O interesse é encontrado em todas as áreas das estruturas modernas. Tomemos, por exemplo, bancos: o valor do pagamento a maior do empréstimo depende do valor especificado no contrato; A taxa de juros também afeta o tamanho do lucro. Portanto, é vital saber o que é uma porcentagem.
O conceito de interesse
De acordo com uma lenda, a porcentagem apareceu devido a um erro de digitação bobo. O compositor deveria definir o número 100, mas misturou e colocou assim: 010. Isso fez com que o primeiro zero subisse um pouco e o segundo caísse. A unidade tornou-se uma barra invertida. Tais manipulações levaram ao aparecimento do sinal de porcentagem. Claro, existem outras lendas sobre a origem desse valor.
Os índios conheciam as porcentagens no século V. Na Europa, frações decimais, comque nosso conceito está intimamente interligado, surgiu depois de um milênio. Pela primeira vez no Velho Mundo, o julgamento do que é uma porcentagem foi introduzido por um cientista da Bélgica, Simon Stevin. Em 1584, uma tabela de magnitudes foi publicada pela primeira vez pelo mesmo cientista.
A palavra "porcentagem" tem origem no latim como pro centum. Se você traduzir a frase, obterá "de cem". Assim, uma porcentagem é entendida como um centésimo de um valor, um número. Este valor é indicado pelo sinal %.
Graças às porcentagens, tornou-se possível comparar partes de um todo sem muita dificuldade. A introdução de ações simplificou muito os cálculos, razão pela qual se tornaram tão comuns.
Conversão de frações em porcentagens
Para converter uma fração decimal em porcentagem, você pode precisar da chamada fórmula de porcentagem: a fração é multiplicada por 100, %.
Se você precisar converter uma fração em porcentagem, primeiro você precisa torná-la decimal e depois usar a fórmula acima.
Conversão de porcentagens em frações
Assim, a fórmula de porcentagem é bastante condicional. Mas você precisa saber como converter esse valor em uma expressão fracionária. Para converter ações (porcentagens) em frações decimais, você precisa remover o sinal% e dividir o indicador por 100.
Fórmula para calcular a porcentagem de um número
30% dos alunos tiraram nota “excelente” no teste de química. Ao todo são 40 alunos na turma. Quantosalunos escreveram um teste sobre o "5"? Esta tarefa mostra claramente como descobrir a porcentagem de um número.
Solução:
1) 40 x 30=1200.
2) 1200: 100=12 (alunos).
Resposta: 12 alunos escreveram o teste para "5".
Você pode usar a tabela pronta, que mostra algumas frações e porcentagens que correspondem a elas.
A fórmula da porcentagem se parece com isso: C=(A∙B)/100, onde A é o número (em um exemplo específico igual a 40); B - o número de por cento (neste problema, B=30%); С – resultado desejado.
Fórmula para calcular um número a partir de uma porcentagem
O problema a seguir demonstrará o que é uma porcentagem e como encontrar um número a partir de uma porcentagem.
A fábrica de roupas fez 1200 vestidos, sendo 32% deles vestidos de novo estilo. Quantos vestidos de novo estilo a fábrica de roupas fez?
Solução:
1. 1200: 100=12 (vestidos) - 1% de todos os itens lançados.
2. 12 x 32=384 (vestidos).
Resposta: a fábrica fez 384 vestidos de novo estilo.
Se você precisar encontrar um número por sua porcentagem, você pode usar a seguinte fórmula: C=(A∙100)/B, onde A - o número total de itens (neste caso, A=1200); B - o número de porcentagem (em uma tarefa específica B=32%); C é o valor desejado.
Aumentar, diminuir o número por um dadoporcentagens
Os alunos devem aprender o que são percentagens, como contá-las e resolver vários problemas. Para fazer isso, você precisa entender como o número aumenta ou diminui em N%.
Muitas vezes são dadas tarefas, e na vida você precisa descobrir a que número será igual, acrescido de uma determinada porcentagem. Por exemplo, dado o número X. Você precisa descobrir qual será o valor de X se ele for aumentado, digamos, em 40%. Primeiro você precisa converter 40% para um número fracionário (40/100). Então, o resultado de aumentar o número X será: X + 40% ∙ X=(1+40/100) ∙ X=1, 4 ∙ X Se ao invés de X substituirmos qualquer número, vamos pegar, por exemplo, 100, então toda a expressão será igual a: 1, 4 ∙ X=1, 4 ∙ 100=140.
Aproximadamente o mesmo princípio é usado ao diminuir um número por uma determinada porcentagem. É necessário realizar os cálculos: X - X ∙ 40%=X ∙ (1-40/100)=0,6 ∙ X. Se o valor é 100, então 0,6 ∙ X=0,6 . 100=60.
Existem tarefas em que você precisa descobrir em qual porcentagem o número aumentou.
Por exemplo, dada a tarefa: O motorista estava dirigindo por um trecho da pista a uma velocidade de 80 km/h. Em outro trecho, a velocidade do trem aumentou para 100 km/h. Em que porcentagem a velocidade do trem aumentou?
Solução:
Assuma que 80 km/h é 100%. Então fazemos os cálculos: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h=1000: 8=125%. Acontece que 100 km/h é 125%. Para descobrir o quanto a velocidade aumentou, você precisa calcular: 125% - 100%=25%.
Resposta: a velocidade do trem no segundo trecho aumentou 25%.
Proporção
Muitas vezes há casos em que é necessário resolver problemas de porcentagem usando uma proporção. Na verdade, esse método de encontrar o resultado facilita muito a tarefa para alunos, professores e não só.
Então o que é proporção? Este termo refere-se à igualdade de duas relações, que podem ser expressas da seguinte forma: A/B =C / D.
Nos livros didáticos de matemática existe essa regra: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios. Isso é expresso pela seguinte fórmula: A x D=B x C.
Graças a esta formulação, qualquer número pode ser calculado se os outros três termos da proporção forem conhecidos. Por exemplo, A é um número desconhecido. Para encontrá-lo, você precisa
Ao resolver problemas usando o método de proporção, você precisa entender de qual número tirar as porcentagens. Há momentos em que as ações precisam ser tomadas de valores diferentes. Comparar:
1. Após o término da venda na loja, o custo da camiseta aumentou 25% e chegou a 200 rublos. Qual foi o preço durante a promoção.
Solução:
Neste caso, o valor de 200 rublos corresponde a 125% do preço original (de venda) da camiseta. Então, para descobrir seu valor durante a venda, você precisa (200 x 100): 125. Você recebe 160 rublos.
2. Existem 200.000 habitantes no planeta Vitsencia: pessoas e representantes da raça humanóide Naavi. Naavi compõem 80% da população totalVicencii. Das pessoas, 40% estão empregadas na manutenção da mina, o restante é extraído para tétânio. Quantas pessoas estão minerando tetânio?
Solução:
Primeiro de tudo, você precisa encontrar em forma numérica o número de pessoas e o número de Naavi. Então, 80% de 200.000 será igual a 160.000. Tantos representantes da raça humanóide vivem em Vicencia. O número de pessoas, respectivamente, é de 40.000. Destes, 40%, ou seja, 16.000, atendem a mina. Então, 24.000 pessoas estão extraindo tétânio.
Mudança repetida de um número por uma certa porcentagem
Quando você já entende o que é uma porcentagem, precisa estudar o conceito de mudança absoluta e relativa. Uma transformação absoluta é entendida como um aumento em um número por um número específico. Assim, X aumentou em 100. Qualquer que seja o substituto de X, esse número ainda aumentará em 100: 15 + 100; 99, 9 + 100; a + 100 etc.
Uma mudança relativa é entendida como um aumento em um valor por um certo número de por cento. Digamos que X aumentou em 20%. Isso significa que X será igual a: X + X ∙ 20%. A mudança relativa está implícita sempre que se trata de aumentar pela metade ou um terço, diminuir por um quarto, aumentar em 15%, etc.
Há outro ponto importante: se o valor de X for aumentado em 20% e depois em mais 20%, o aumento total será de 44%, mas não de 40%. Isso pode ser visto nos seguintes cálculos:
1. X + 20% ∙ X=1, 2 ∙ X
2. 1, 2 ∙ X + 20% ∙ 1, 2 ∙ X=1, 2 ∙ X + 0, 24 ∙ X=1, 44 ∙ X
Mostraque X aumentou 44%.
Exemplos de problemas de interesse
1. Que porcentagem de 36 é 9?
Solução:
De acordo com a fórmula para encontrar a porcentagem de um número, você precisa multiplicar 9 por 100 e dividir por 36.
Resposta: 9 é 25% de 36.
2. Calcule o número C, que é 10% de 40.
Solução:
De acordo com a fórmula para encontrar um número por sua porcentagem, você precisa multiplicar 40 por 10 e dividir o resultado por 100.
Resposta: 4 é 10% de 40.
3. O primeiro parceiro investiu 4.500 rublos no negócio, o segundo - 3.500 rublos, o terceiro - 2.000 rublos. Eles fizeram um lucro de 2400 rublos. Eles dividiram os lucros igualmente. Quanto em rublos o primeiro sócio perdeu, comparado ao quanto ele teria recebido se dividisse a renda de acordo com a porcentagem dos fundos investidos?
Solução:
Então, juntos eles investiram 10.000 rublos. A renda de cada um totalizou uma parte igual de 800 rublos. Para descobrir quanto o primeiro sócio deveria ter recebido e quanto ele perdeu, respectivamente, você precisa descobrir a porcentagem dos fundos investidos. Então você precisa descobrir quanto lucro essa contribuição gera em rublos. E a última coisa é subtrair 800 rublos do resultado.
Resposta: o primeiro sócio perdeu 280 rublos ao dividir os lucros.
Um pouco de economia
Hoje, uma questão bastante popular é obter um empréstimo por um determinado período. Mas como escolher um empréstimo lucrativo para não pagar a mais? Primeiro, você precisa olhartaxa de juro. É desejável que este indicador seja o mais baixo possível. Então você deve aplicar a fórmula para calcular os juros do empréstimo.
Como regra, o tamanho do pagamento em excesso é afetado pelo valor da dívida, a taxa de juros e o método de pagamento. Há anuidade e pagamentos diferenciados. No primeiro caso, o empréstimo é reembolsado em prestações iguais todos os meses. Imediatamente, o valor que cobre o empréstimo principal cresce e o custo dos juros diminui gradualmente. No segundo caso, o mutuário paga valores fixos para amortizar o empréstimo, aos quais são acrescidos juros sobre o saldo da dívida principal. Mensalmente, o valor total dos pagamentos diminuirá.
Agora precisamos considerar as duas formas de reembolsar o empréstimo. Assim, com a opção de anuidade, o valor do pagamento a maior será maior e, com a opção de diferencial, o valor dos primeiros pagamentos. Naturalmente, os termos do empréstimo são os mesmos para ambos os casos.
Conclusão
Então, juros. Como contá-los? Simples o suficiente. No entanto, às vezes eles podem ser problemáticos. Este tema começa a ser estudado na escola, mas alcança todos na área de empréstimos, depósitos, impostos, etc. Por isso, é aconselhável mergulhar na essência desse assunto. Se você ainda não consegue fazer os cálculos, existem muitas calculadoras online que o ajudarão a lidar com a tarefa.
