Acho que devemos começar com a história de uma ferramenta matemática tão gloriosa como as equações diferenciais. Como todo cálculo diferencial e integral, essas equações foram inventadas por Newton no final do século XVII. Ele considerou essa descoberta tão importante que chegou a criptografar a mensagem, que hoje pode ser traduzida assim: "Todas as leis da natureza são descritas por equações diferenciais". Pode parecer exagero, mas é verdade. Qualquer lei da física, química, biologia pode ser descrita por essas equações.
Os matemáticos Euler e Lagrange deram uma grande contribuição para o desenvolvimento e criação da teoria das equações diferenciais. Já no século XVIII, descobriram e desenvolveram o que agora estudam nos cursos superiores das universidades.
Um novo marco no estudo das equações diferenciais começou graças a Henri Poincaré. Ele criou uma "teoria qualitativa das equações diferenciais", que, em combinação com a teoria das funções de uma variável complexa, deu uma contribuição significativa para a fundação da topologia - a ciência do espaço e seuspropriedades.
O que são equações diferenciais?
Muitas pessoas têm medo de uma frase "equação diferencial". No entanto, neste artigo vamos detalhar toda a essência desse aparato matemático muito útil, que na verdade não é tão complicado quanto parece pelo nome. Para começar a falar sobre equações diferenciais de primeira ordem, você deve primeiro se familiarizar com os conceitos básicos inerentemente relacionados a essa definição. E vamos começar com o diferencial.
Diferencial
Muitos conhecem esse conceito desde a escola. No entanto, vamos dar uma olhada mais de perto. Imagine um gráfico de uma função. Podemos aumentá-lo a tal ponto que qualquer um de seus segmentos tomará a forma de uma linha reta. Nele tomamos dois pontos que estão infinitamente próximos um do outro. A diferença entre suas coordenadas (x ou y) será um valor infinitesimal. É chamado de diferencial e é denotado pelos sinais dy (diferencial de y) e dx (diferencial de x). É muito importante entender que o diferencial não é um valor finito, e este é o seu significado e função principal.
E agora precisamos considerar o próximo elemento, que nos será útil para explicar o conceito de equação diferencial. Esta é a derivada.
Derivada
Todos nós provavelmente ouvimos na escola esse conceito. Diz-se que a derivada é a taxa de crescimento ou decréscimo de uma função. No entanto, a partir desta definiçãomuito fica obscuro. Vamos tentar explicar a derivada em termos de diferenciais. Vamos voltar a um segmento infinitesimal de uma função com dois pontos que estão a uma distância mínima um do outro. Mas mesmo para essa distância, a função consegue mudar um pouco. E para descrever essa mudança, eles criaram uma derivada, que pode ser escrita como uma razão de diferenciais: f(x)'=df/dx.
Agora vale a pena considerar as propriedades básicas da derivada. Existem apenas três deles:
- A derivada da soma ou diferença pode ser representada como a soma ou diferença das derivadas: (a+b)'=a'+b' e (a-b)'=a'-b'.
- A segunda propriedade está relacionada à multiplicação. A derivada de um produto é a soma dos produtos de uma função e a derivada de outra: (ab)'=a'b+ab'.
- A derivada da diferença pode ser escrita como a seguinte igualdade: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Todas essas propriedades serão úteis para encontrar soluções para equações diferenciais de primeira ordem.
Também existem derivadas parciais. Digamos que temos uma função z que depende das variáveis x e y. Para calcular a derivada parcial desta função, digamos, em relação a x, precisamos tomar a variável y como uma constante e simplesmente derivar.
Integral
Outro conceito importante é a integral. Na verdade, isso é o oposto direto da derivada. Existem vários tipos de integrais, mas para resolver as equações diferenciais mais simples, precisamos das integrais indefinidas mais triviais.
Então, o que é uma integral? Digamos que temos alguma dependência fde x. Tomamos a integral dela e obtemos a função F(x) (muitas vezes chamada de antiderivada), cuja derivada é igual à função original. Assim F(x)'=f(x). Segue-se também que a integral da derivada é igual à função original.
Ao resolver equações diferenciais, é muito importante entender o significado e a função da integral, pois você terá que pegá-las com muita frequência para encontrar a solução.
Equações são diferentes dependendo de sua natureza. Na próxima seção, consideraremos os tipos de equações diferenciais de primeira ordem e aprenderemos como resolvê-las.
Classes de equações diferenciais
"Diffury" são divididos de acordo com a ordem das derivadas neles envolvidas. Assim, existe a primeira, segunda, terceira e mais ordem. Eles também podem ser divididos em várias classes: derivadas ordinárias e parciais.
Neste artigo vamos considerar as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Também discutiremos exemplos e maneiras de resolvê-los nas seções a seguir. Consideraremos apenas EDOs, porque esses são os tipos mais comuns de equações. Ordinários são divididos em subespécies: com variáveis separáveis, homogêneas e heterogêneas. Em seguida, você aprenderá como eles diferem um do outro e aprenderá a resolvê-los.
Além disso, essas equações podem ser combinadas, de modo que depois obtemos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Também consideraremos esses sistemas e aprenderemos a resolvê-los.
Por que estamos considerando apenas a primeira ordem? Porque você precisa começar com um simples, e descrever tudo relacionado ao diferencialequações, em um artigo é simplesmente impossível.
Equações de variáveis separáveis
Estas são talvez as equações diferenciais de primeira ordem mais simples. Estes incluem exemplos que podem ser escritos assim: y'=f(x)f(y). Para resolver esta equação, precisamos de uma fórmula para representar a derivada como uma razão de diferenciais: y'=dy/dx. Usando-o, obtemos a seguinte equação: dy/dx=f(x)f(y). Agora podemos recorrer ao método para resolver exemplos padrão: vamos dividir as variáveis em partes, ou seja, vamos transferir tudo com a variável y para a parte onde está localizado dy, e faremos o mesmo com a variável x. Obtemos uma equação da forma: dy/f(y)=f(x)dx, que é resolvida tomando as integrais de ambas as partes. Não se esqueça da constante que deve ser definida após a integral.
A solução para qualquer "difurância" é uma função da dependência de x em y (no nosso caso) ou, se houver uma condição numérica, então a resposta é na forma de um número. Vamos analisar todo o percurso da solução usando um exemplo específico:
y'=2ysin(x)
Mova as variáveis em direções diferentes:
dy/y=2sin(x)dx
Agora fazemos integrais. Todos eles podem ser encontrados em uma tabela especial de integrais. E obtemos:
ln(y)=-2cos(x) + C
Se necessário, podemos expressar "y" como uma função de "x". Agora podemos dizer que nossa equação diferencial está resolvida se nenhuma condição for dada. Uma condição pode ser dada, por exemplo, y(n/2)=e. Então simplesmente substituímos o valor dessas variáveis na solução eencontre o valor da constante. No nosso exemplo, é igual a 1.
Equações diferenciais homogêneas de primeira ordem
Agora vamos para a parte mais difícil. Equações diferenciais homogêneas de primeira ordem podem ser escritas na forma geral como segue: y'=z(x, y). Deve-se notar que a função direita de duas variáveis é homogênea e não pode ser dividida em duas dependências: z em x e z em y. Verificar se a equação é homogênea ou não é bem simples: fazemos a substituição x=kx e y=ky. Agora cancelamos todos os k. Se todas essas letras forem reduzidas, a equação será homogênea e você poderá resolvê-la com segurança. Olhando para frente, digamos: o princípio de resolver esses exemplos também é muito simples.
Precisamos fazer uma substituição: y=t(x)x, onde t é alguma função que também depende de x. Então podemos expressar a derivada: y'=t'(x)x+t. Substituindo tudo isso em nossa equação original e simplificando, obtemos um exemplo com variáveis separáveis t e x. Resolvemos e obtemos a dependência t(x). Quando conseguimos, simplesmente substituímos y=t(x)x em nossa substituição anterior. Então obtemos a dependência de y em x.
Para deixar mais claro, vejamos um exemplo: xy'=y-xey/x.
Na verificação com reposição, tudo é reduzido. Então a equação é realmente homogênea. Agora fazemos outra substituição sobre a qual falamos: y=t(x)xe y'=t'(x)x+t(x). Após a simplificação, obtemos a seguinte equação: t'(x)x=-et. Resolvemos o exemplo resultante com variáveis separadas e obtemos: e-t=ln(Cx). Precisamos apenas substituir t por y/x (afinal, se y=tx, então t=y/x), e obtemosresposta: e-y/x=ln(xC).
Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
É hora de outro grande tópico. Analisaremos equações diferenciais não homogêneas de primeira ordem. Como eles são diferentes dos dois anteriores? Vamos descobrir. Equações diferenciais lineares de primeira ordem na forma geral podem ser escritas como segue: y' + g(x)y=z(x). Vale esclarecer que z(x) eg(x) podem ser constantes.
E agora um exemplo: y' - yx=x2.
Existem duas maneiras de resolvê-lo, e vamos lidar com ambas em ordem. O primeiro é o método de variação de constantes arbitrárias.
Para resolver a equação desta forma, você deve primeiro igualar o lado direito a zero e resolver a equação resultante, que depois de mover as partes terá a forma:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Agora precisamos substituir a constante C1 pela função v(x) que temos que encontrar.
y=vex2/2.
Vamos mudar a derivada:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
E substitua essas expressões na equação original:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Você pode ver que dois termos se cancelam no lado esquerdo. Se em algum exemplo isso não aconteceu, então você fez algo errado. Continuar:
v'ex2/2 =x2.
Agora resolvemos a equação usual na qual precisamos separar as variáveis:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Para extrair a integral, temos que aplicar a integração por partes aqui. No entanto, este não é o tema do nosso artigo. Se você estiver interessado, poderá aprender a executar essas ações por conta própria. Não é difícil, e com habilidade e atenção suficientes não leva muito tempo.
Voltemos ao segundo método de resolução de equações não homogêneas: o método de Bernoulli. Qual abordagem é mais rápida e fácil depende de você.
Então, ao resolver a equação por este método, precisamos fazer uma substituição: y=kn. Aqui k e n são algumas funções dependentes de x. Então a derivada ficará assim: y'=k'n+kn'. Substitua ambas as substituições na equação:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupo:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Agora precisamos igualar a zero o que está entre colchetes. Agora, se você combinar as duas equações resultantes, obterá um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que você precisa resolver:
n'+xn=0;
k'n=x2.
A primeira igualdade é resolvida como uma equação normal. Para fazer isso, você precisa separar as variáveis:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Pegue a integral e obtenha: ln(n)=x2/2. Então, se expressarmos n:
n=ex2/2.
Agora substituímos a igualdade resultante na segunda equação do sistema:
k'ex2/2=x2.
E transformando, obtemos a mesma igualdade do primeiro método:
dk=x2/ex2/2.
Também não daremos mais passos. Vale dizer que a princípio a solução de equações diferenciais de primeira ordem causa dificuldades significativas. No entanto, à medida que você se aprofunda no assunto, ele começa a ficar cada vez melhor.
Onde as equações diferenciais são usadas?
As equações diferenciais são muito usadas na física, já que quase todas as leis básicas são escritas na forma diferencial, e as fórmulas que vemos são a solução dessas equações. Na química, eles são usados pelo mesmo motivo: leis básicas são derivadas deles. Na biologia, equações diferenciais são usadas para modelar o comportamento de sistemas, como predador-presa. Eles também podem ser usados para criar modelos de reprodução de, digamos, uma colônia de microorganismos.
Como as equações diferenciais ajudam na vida?
A resposta a esta pergunta é simples: de jeito nenhum. Se você não é um cientista ou engenheiro, é improvável que eles sejam úteis para você. No entanto, para o desenvolvimento geral, não custa saber o que é uma equação diferencial e como ela é resolvida. E então a questão de um filho ou filha "o que é uma equação diferencial?" não vai confundir você. Bem, se você é um cientista ou engenheiro, então você mesmo entende a importância desse tópico em qualquer ciência. Mas o mais importante é que agora a questão "como resolver uma equação diferencial de primeira ordem?" você sempre pode responder. Concordo, é sempre bomquando você entende o que as pessoas têm até medo de entender.
Principais problemas de aprendizagem
O principal problema na compreensão deste tópico é a pouca habilidade de integração e diferenciação de funções. Se você é ruim em derivar e integrais, provavelmente deveria aprender mais, dominar diferentes métodos de integração e derivação e só então começar a estudar o material descrito no artigo.
Algumas pessoas ficam surpresas quando descobrem que dx pode ser transferido, porque antes (na escola) foi dito que a fração dy/dx é indivisível. Aqui você precisa ler a literatura sobre a derivada e entender que é a razão de quantidades infinitesimais que podem ser manipuladas ao resolver equações.
Muitos não percebem imediatamente que a solução de equações diferenciais de primeira ordem é muitas vezes uma função ou uma integral que não pode ser tomada, e essa ilusão lhes dá muitos problemas.
O que mais pode ser estudado para uma melhor compreensão?
É melhor começar uma maior imersão no mundo do cálculo diferencial com livros especializados, por exemplo, em cálculo para alunos de especialidades não matemáticas. Então você pode passar para literatura mais especializada.
Deve-se dizer que, além das equações diferenciais, também existem equações integrais, então você sempre terá algo para se esforçar e algo para estudar.
Conclusão
Esperamos que depois de lerEste artigo deu uma ideia do que são equações diferenciais e como resolvê-las corretamente.
Em qualquer caso, a matemática de alguma forma será útil para nós na vida. Desenvolve a lógica e a atenção, sem as quais toda pessoa é como sem mãos.
