Um dos tópicos mais difíceis e incompreensíveis da matemática universitária é integração e cálculo diferencial. Você precisa conhecer e entender esses conceitos, bem como ser capaz de aplicá-los. Muitas disciplinas técnicas universitárias estão ligadas a diferenciais e integrais.
Breves informações sobre equações
Estas equações são um dos conceitos matemáticos mais importantes no sistema educacional. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona as variáveis independentes, a função a ser encontrada e as derivadas dessa função com as variáveis consideradas independentes. O cálculo diferencial para encontrar uma função de uma variável é chamado de ordinário. Se a função desejada depende de várias variáveis, então se fala de uma equação diferencial parcial.
Na verdade, encontrar uma certa resposta para a equação se resume à integração, e o método de solução é determinado pelo tipo de equação.
Equações de primeira ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação que pode descrever uma variável, uma função desejada e sua primeira derivada. Tais equações podem ser dadas em três formas: explícita, implícita, diferencial.
Conceitos necessários para resolver
Condição inicial - definindo o valor da função desejada para um determinado valor de uma variável que é independente.
Solução de uma equação diferencial - qualquer função diferenciável, substituída exatamente na equação original, a torna identicamente igual. A solução obtida, que não é explícita, é a integral da equação.
A solução geral de equações diferenciais é uma função y=y(x;C), que pode satisfazer os seguintes julgamentos:
- Uma função pode ter apenas uma constante arbitrária С.
- A função resultante deve ser uma solução da equação para quaisquer valores arbitrários de uma constante arbitrária.
- Com uma dada condição inicial, uma constante arbitrária pode ser definida de forma única para que a solução particular resultante seja consistente com a condição inicial dada.
Na prática, o problema de Cauchy é frequentemente usado - encontrar uma solução que seja particular e possa ser comparada com a condição definida no início.
O teorema de Cauchy é um teorema que enfatiza a existência e unicidade de uma solução particular em cálculo diferencial.
Sentido Geométrico:
- Solução geral y=y(x;C)equação é o número total de curvas integrais.
- Cálculo diferencial permite conectar as coordenadas de um ponto no plano XOY e a tangente desenhada à curva integral.
- Definir a condição inicial significa definir um ponto no plano.
- Para resolver o problema de Cauchy significa que de todo o conjunto de curvas integrais que representam a mesma solução da equação, é necessário selecionar a única que passa pelo único ponto possível.
- Cumprimento das condições do teorema de Cauchy em um ponto significa que uma curva integral (além disso, apenas uma) passa necessariamente pelo ponto escolhido no plano.
Equação de variável separável
Por definição, uma equação diferencial é uma equação em que seu lado direito descreve ou é refletido como um produto (às vezes uma razão) de duas funções, uma dependendo apenas de "x" e a outra - apenas de "y ". Um exemplo claro para este tipo: y'=f1(x)f2(y).
Para resolver equações de uma forma particular, você deve primeiro transformar a derivada y'=dy/dx. Então, manipulando a equação, você precisa trazê-la para uma forma em que possa integrar as duas partes da equação. Após as transformações necessárias, integramos as duas partes e simplificamos o resultado.
Equações homogêneas
Por definição, uma equação diferencial pode ser chamada de homogênea se tiver a seguinte forma: y'=g(y/x).
Neste caso, a substituição y/x=é mais usadat(x).
Para resolver tais equações, é necessário reduzir uma equação homogênea a uma forma com variáveis separáveis. Para fazer isso, você deve realizar as seguintes operações:
- Exibição, expressando a derivada da função original, de qualquer função original como uma nova equação.
- O próximo passo é transformar a função resultante na forma f(x;y)=g(y/x). Em palavras mais simples, faça a equação conter apenas a razão y/x e constantes.
- Faça a seguinte substituição: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. A substituição feita ajudará a dividir as variáveis na equação, tornando-a gradualmente mais simples.
Equações lineares
A definição de tais equações é a seguinte: uma equação diferencial linear é uma equação em que seu lado direito é expresso como uma expressão linear em relação à função original. A função desejada neste caso: y'=a(x)y + b(x).
Vamos reformular a definição da seguinte forma: qualquer equação de 1ª ordem se tornará linear em sua forma se a função original e sua derivada estiverem incluídas na equação de primeiro grau e não forem multiplicadas uma pela outra. A "forma clássica" de uma equação diferencial linear tem a seguinte estrutura: y' + P(x)y=Q(x).
Antes de resolver tal equação, ela deve ser convertida para a "forma clássica". O próximo passo será a escolha do método de solução: o método de Bernoulli ou o método de Lagrange.
Resolvendo a equação comusando o método introduzido por Bernoulli, implica a substituição e redução de uma equação diferencial linear a duas equações com variáveis separadas relativas às funções U(x) e V(x), que foram dadas em sua forma original.
O método de Lagrange é encontrar uma solução geral para a equação original.
- É necessário encontrar a mesma solução da equação homogênea. Após pesquisar, temos a função y=y(x, C), onde C é uma constante arbitrária.
- Estamos procurando uma solução para a equação original na mesma forma, mas consideramos C=C(x). Substituímos a função y=y(x, C(x)) na equação original, encontramos a função C(x) e escrevemos a solução da equação original geral.
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli - se o lado direito do cálculo tomar a forma f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, onde k é qualquer valor numérico racional possível, não tomando como casos de exemplo quando k=0 e k=1.
Se k=1, então o cálculo se torna separável, e quando k=0, a equação permanece linear.
Vamos considerar o caso geral de resolver este tipo de equação. Temos a equação de Bernoulli padrão. Deve ser reduzido a um linear, para isso você precisa dividir a equação por yk. Após esta operação, substitua z(x)=y1-k. Após uma série de transformações, a equação será reduzida a linear, na maioria das vezes pelo método de substituição z=UV.
Equações em diferenciais totais
Definição. Uma equação com a estrutura P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 é chamada de equação completadiferenciais, se a seguinte condição for atendida (nesta condição, "d" é um diferencial parcial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Todas as equações diferenciais de primeira ordem consideradas anteriormente podem ser exibidas como diferenciais.
Tais cálculos são resolvidos de várias maneiras. Mas, no entanto, todos eles começam com uma verificação de condição. Se a condição for satisfeita, então a região mais à esquerda da equação é o diferencial total da função ainda desconhecida U(x;y). Então, de acordo com a equação, dU (x; y) será igual a zero e, portanto, a mesma integral da equação em diferenciais totais será exibida na forma U (x; y) u003d C. Portanto, o solução da equação é reduzida para encontrar a função U (x; y).
Fator de integração
Se a condição dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx não for satisfeita na equação, então a equação não tem a forma que consideramos acima. Mas às vezes é possível escolher alguma função M(x;y), quando multiplicada pela qual a equação toma a forma de uma equação em "difusa" completa. A função M (x;y) é referida como o fator de integração.
Um integrador só pode ser encontrado quando ele se torna uma função de apenas uma variável.
