Muitas vezes, ao resolver problemas, você precisa descobrir se um determinado número é divisível por um determinado dígito sem deixar resto. Mas cada vez leva muito tempo para compartilhá-lo. Além disso, há uma alta probabilidade de errar nos cálculos e fugir da resposta correta. Para evitar esse problema, foram encontrados sinais de divisibilidade em números primos básicos ou números de um dígito: 2, 3, 9, 11. Mas e se você precisar dividir por outro número maior? Por exemplo, como calcular o sinal de divisibilidade por 15? Tentaremos encontrar a resposta para esta pergunta neste artigo.
Como formular o teste de divisibilidade por 15?
Se os sinais de divisibilidade são bem conhecidos para números primos, então o que fazer com o resto?
Se o número não for primo, então ele pode ser fatorado. Por exemplo, 33 é o produto de 3 e 11, e 45 é 9 e 5. Existe uma propriedade segundo a qual um número é divisível por um determinado número semresto se puder ser dividido por ambos os fatores. Isso significa que qualquer número grande pode ser representado na forma de primos e, com base neles, podemos formular o sinal de divisibilidade.
Então, precisamos descobrir se esse número pode ser dividido por 15. Para fazer isso, vamos analisá-lo com mais detalhes. O número 15 pode ser representado como um produto de 3 e 5. Isso significa que para um número ser divisível por 15, ele deve ser um múltiplo de 3 e 5. Este é o sinal de divisibilidade por 15. futuro, vamos considerá-lo com mais detalhes e formulá-lo com mais precisão.
Como saber se um número é divisível por 3?
Lembre-se do teste de divisibilidade por 3.
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos (o número de unidades, dezenas, centenas e assim por diante) for divisível por 3.
Então, por exemplo, você precisa descobrir qual desses números pode ser dividido por 3 sem deixar resto: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Claro, você pode simplesmente dividir esses números em uma coluna, mas isso levará muito tempo. Portanto, usaremos o critério de divisibilidade por 3.
- 7 + 6 + 3 + 4 + 8=28. O número 28 não é divisível por 3, então 76348 não é divisível por 3.
- 2 + 4 + 6 + 0 + 6=18. O número 18 pode ser dividido por 3, o que significa que esse número também é divisível por 3 sem deixar resto. De fato, 24 606: 3=8 202.
Analise o resto dos números da mesma forma:
- 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4=25. O número 25 não é divisível por 3. Portanto, 1.128.904 não é divisível por 3.
- 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3=21. O número 21 é divisível por 3, o que significa que 540.813 é divisível por 3. (540.813: 3=180271)
Resposta: 24 606 e 540 813.
Quando um número é divisível por 5?
No entanto, o sinal de que um número é divisível por 15 também inclui não apenas a divisibilidade por 3, mas também uma multiplicidade de cinco.
O sinal de divisibilidade por 5 é o seguinte: um número é divisível por 5 se terminar em 5 ou 0.
Por exemplo, você precisa encontrar múltiplos de 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Os números 11467 e 909 não são divisíveis por 5.
Os números 670, 840 435 e 67 900 terminam em 0 ou 5, o que significa que são múltiplos de 5.
Exemplos com solução
Então, agora podemos formular completamente o sinal de divisibilidade por 15: um número é divisível por 15 quando a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3, e o último dígito é 5 ou 0. É importante observar que ambas as condições devem ser atendidas simultaneamente. Caso contrário, obteremos um número que não é múltiplo de 15, mas apenas 3 ou 5.
O sinal de divisibilidade de números por 15 é muitas vezes necessário para resolver tarefas de controle e exame. Por exemplo, muitas vezes, no nível básico do exame de matemática, há tarefas baseadas na compreensão desse tópico específico. Considere algumas de suas soluções na prática.
Tarefa 1.
Entre os números, encontre aqueles que são divisíveis por 15.
9 085 475; 78 545; 531; 12.000; 90 952
Então, para começar, vamos descartar aqueles números que obviamente não atendem aos nossos critérios. Estes são 531 e 90.952. Apesar da soma 5+3+1=9 ser divisível por 3, o número termina em um, o que significa que não cabe. O mesmo vale para 90952, quetermina em 2.
9 085 475, 78 545 e 12 000 satisfazem o primeiro critério, agora vamos compará-los com o segundo.
9+0+8+5+4+7+5=38, 38 não é divisível por 3. Portanto, esse número é extra em nossa série.
7+8+5+4+5=29. 29 não é múltiplo de 3, não atende às condições.
Mas 1+2=3, 3 é divisível por 3, o que significa que este número é a resposta.
Resposta: 12.000
Tarefa 2.
O número de três dígitos C é maior que 700 e divisível por 15. Escreva o menor número.
Então, de acordo com o critério de divisibilidade por 15, esse número deve terminar em 5 ou 0. Como precisamos do menor possível, pegue 0 - este será o último dígito.
Como o número é maior que 700, o primeiro número pode ser 7 ou maior. Lembrando que devemos encontrar o menor valor, escolhemos 7.
Para um número ser divisível por 15, a condição 7+x+0=um múltiplo de 3, onde x é o número de dezenas.
Então, 7+x+0=9
X=9 -7
X=2
O número 720 é o que você está procurando.
Resposta: 720
Problema 3.
Exclua quaisquer três dígitos de 3426578 para que o número resultante seja um múltiplo de 15.
Primeiramente, o número desejado deve terminar com o número 5 ou 0. Portanto, os dois últimos dígitos - 7 e 8 devem ser riscados imediatamente.
34265 à esquerda.
3+4+2+6+5=20, 20 não é divisível por 3. O múltiplo mais próximo de 3 é 18. Para obtê-lo, você precisa subtrair 2. Risque o número 2.
Acontece 3465. Verifique sua resposta, 3465: 15=231.
Resposta:3465
Neste artigo, os principais sinais de divisibilidade por 15 foram considerados com exemplos. Este material deve ajudar os alunos a resolver tarefas deste tipo e similares, bem como compreender o algoritmo para trabalhar com elas.
