O aluno mais frequentemente encontra superfícies de 2ª ordem no primeiro ano. A princípio, as tarefas neste tópico podem parecer simples, mas à medida que você estuda matemática superior e se aprofunda no lado científico, você pode finalmente parar de se orientar no que está acontecendo. Para evitar que isso aconteça, é necessário não apenas memorizar, mas entender como esta ou aquela superfície é obtida, como a mudança dos coeficientes a afeta e sua localização em relação ao sistema de coordenadas original e como encontrar um novo sistema (aquele em que seu centro coincide com as coordenadas de origem e o eixo de simetria é paralelo a um dos eixos de coordenadas). Vamos começar do início.
Definição
GMT é chamada de superfície de 2ª ordem, cujas coordenadas satisfazem a equação geral da seguinte forma:
F(x, y, z)=0.
É claro que cada ponto pertencente à superfície deve ter três coordenadas em alguma base designada. Embora em alguns casos o lugar geométrico dos pontos possa degenerar, por exemplo, em um plano. Significa apenas que uma das coordenadas é constante e igual a zero em todo o intervalo de valores aceitáveis.
A forma pintada completa da igualdade mencionada acima se parece com isso:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – algumas constantes, x, y, z – variáveis correspondentes a coordenadas afins de algum ponto. Nesse caso, pelo menos um dos fatores constantes não deve ser igual a zero, ou seja, nenhum ponto corresponderá à equação.
Na grande maioria dos exemplos, muitos fatores numéricos ainda são identicamente iguais a zero, e a equação é bastante simplificada. Na prática, determinar se um ponto pertence a uma superfície não é difícil (basta substituir suas coordenadas na equação e verificar se a identidade é observada). O ponto chave em tal trabalho é trazer este último para uma forma canônica.
A equação escrita acima define quaisquer (todas listadas abaixo) superfícies de 2ª ordem. Consideraremos exemplos abaixo.
Tipos de superfícies de 2ª ordem
Equações de superfícies de 2ª ordem diferem apenas nos valores dos coeficientes Anm. Do ponto de vista geral, para determinados valores das constantes, várias superfícies podem ser obtidas, classificadas da seguinte forma:
- Cilindros.
- Tipo elíptico.
- Tipo hiperbólico.
- Tipo cônico.
- Tipo parabólico.
- Aviões.
Cada um dos tipos listados tem uma forma natural e imaginária: na forma imaginária, o lugar geométrico dos pontos reais ou degenera em uma figura mais simples, ou está completamente ausente.
Cilindros
Este é o tipo mais simples, pois uma curva relativamente complexa fica apenas na base, servindo como guia. Os geradores são linhas retas perpendiculares ao plano em que se encontra a base.
O gráfico mostra um cilindro circular, um caso especial de um cilindro elíptico. No plano XY, sua projeção será uma elipse (no nosso caso, um círculo) - um guia, e em XZ - um retângulo - já que os geradores são paralelos ao eixo Z. Para obtê-lo da equação geral, você precisa para dar aos coeficientes os seguintes valores:
Em vez dos símbolos usuais x, y, z, x com um número de série é usado - não importa.
Na verdade, 1/a2e as outras constantes indicadas aqui são os mesmos coeficientes indicados na equação geral, mas é costume escrevê-los desta forma - isso é a representação canônica. Além disso, apenas essa notação será usada.
É assim que um cilindro hiperbólico é definido. O esquema é o mesmo - a hipérbole será o guia.
y2=2px
Um cilindro parabólico é definido de forma um pouco diferente: sua forma canônica inclui um coeficiente p, chamado parâmetro. Na verdade, o coeficiente é igual a q=2p, mas costuma-se dividi-lo nos dois fatores apresentados.
Existe outro tipo de cilindro: imaginário. Nenhum ponto real pertence a tal cilindro. Ela é descrita pela equaçãocilindro elíptico, mas em vez de unidade é -1.
Tipo elíptico
Um elipsóide pode ser esticado ao longo de um dos eixos (ao longo do qual depende dos valores das constantes a, b, c, indicadas acima; é óbvio que um coeficiente maior corresponderá ao eixo maior).
Há também um elipsóide imaginário - desde que a soma das coordenadas multiplicadas pelos coeficientes seja -1:
Hiperbolóides
Quando um sinal de menos aparece em uma das constantes, a equação elipsóide se transforma na equação de um hiperbolóide de folha única. Deve ser entendido que este menos não precisa estar localizado antes da coordenada x3! Apenas determina qual dos eixos será o eixo de rotação do hiperbolóide (ou paralelo a ele, pois quando aparecem termos adicionais no quadrado (por exemplo, (x-2)2) o centro da figura se desloca, como resultado, a superfície se move paralelamente aos eixos coordenados). Isso se aplica a todas as superfícies de 2ª ordem.
Além disso, você precisa entender que as equações são apresentadas de forma canônica e podem ser alteradas variando as constantes (com o sinal preservado!); enquanto sua forma (hiperbolóide, cone e assim por diante) permanecerá a mesma.
Esta equação já é dada por um hiperbolóide de duas folhas.
Superfície cônica
Não há unidade na equação do cone - igualdade a zero.
Somente uma superfície cônica limitada é chamada de cone. A figura abaixo mostra que, de fato, haverá dois chamados cones no gráfico.
Nota importante: em todas as equações canônicas consideradas, as constantes são consideradas positivas por padrão. Caso contrário, o sinal pode afetar o gráfico final.
Os planos de coordenadas tornam-se os planos de simetria do cone, o centro de simetria está localizado na origem.
Existem apenas positivos na equação do cone imaginário; possui um único ponto real.
Parabolóides
Superfícies de 2ª ordem no espaço podem ter formas diferentes mesmo com equações semelhantes. Por exemplo, existem dois tipos de parabolóides.
x2/a2+y2/b2=2z
Um parabolóide elíptico, quando o eixo Z for perpendicular ao desenho, será projetado em uma elipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Parabolóide hiperbólico: seções com planos paralelos a ZY produzirão parábolas, e seções com planos paralelos a XY produzirão hipérboles.
Planos de interseção
Há casos em que superfícies de 2ª ordem degeneram em um plano. Esses planos podem ser organizados de várias maneiras.
Primeiro considere os planos de interseção:
x2/a2-y2/b2=0
Esta modificação da equação canônica resulta em apenas dois planos de interseção (imaginários!); todos os pontos reais estão no eixo da coordenada que está f altando na equação (no canônico - o eixo Z).
Planos paralelos
y2=a2
Quando há apenas uma coordenada, as superfícies de 2ª ordem degeneram em um par de planos paralelos. Lembre-se, qualquer outra variável pode substituir Y; então serão obtidos planos paralelos a outros eixos.
y2=−a2
Neste caso, eles se tornam imaginários.
Aviões coincidentes
y2=0
Com uma equação tão simples, um par de planos degenera em um - eles coincidem.
Não esqueça que no caso de uma base tridimensional, a equação acima não define a reta y=0! F altam as outras duas variáveis, mas isso significa apenas que seu valor é constante e igual a zero.
Construção
Uma das tarefas mais difíceis para um aluno é a construção de superfícies de 2ª ordem. É ainda mais difícil passar de um sistema de coordenadas para outro, dados os ângulos da curva em relação aos eixos e o deslocamento do centro. Vamos repetir como determinar consistentemente a visão futura do desenho com uma análisemaneira.
Para construir uma superfície de 2ª ordem, você precisa de:
- traga a equação para a forma canônica;
- determinar o tipo de superfície em estudo;
- construção baseada em valores de coeficiente.
Abaixo estão todos os tipos considerados:
Para consolidar, vamos descrever em detalhes um exemplo desse tipo de tarefa.
Exemplos
Suponha que haja uma equação:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 anos+144=0
Vamos trazer para a forma canônica. Vamos destacar os quadrados completos, ou seja, arranjamos os termos disponíveis de tal forma que eles sejam a expansão do quadrado da soma ou diferença. Por exemplo: se (a+1)2=a2+2a+1 então a2+2a +1=(a+1)2. Faremos a segunda operação. Nesse caso, não é necessário abrir os colchetes, pois isso só complicará os cálculos, mas é necessário retirar o fator comum 6 (entre parênteses com o quadrado completo do Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
A variável z ocorre neste caso apenas uma vez - você pode deixá-la sozinha por enquanto.
Analisamos a equação nesta etapa: todas as incógnitas são precedidas por um sinal de mais; quando dividido por seis, um permanece. Portanto, temos uma equação que define um elipsóide.
Observe que 144 foi fatorado em 150-6, após o qual o -6 foi movido para a direita. Por que tinha que ser feito dessa forma? Obviamente, o maior divisor neste exemplo é -6, de modo que depois de dividir por eleum fica à direita, é necessário “adiar” exatamente 6 de 144 (o fato de um estar à direita é indicado pela presença de um termo livre - uma constante não multiplicada por uma incógnita).
Divida tudo por seis e obtenha a equação canônica do elipsóide:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Na classificação de superfícies de 2ª ordem utilizada anteriormente, considera-se um caso especial quando o centro da figura está na origem das coordenadas. Neste exemplo, está deslocado.
Assumimos que cada parêntese com incógnitas é uma nova variável. Ou seja: a=x-1, b=y+5, c=z. Nas novas coordenadas, o centro do elipsóide coincide com o ponto (0, 0, 0), portanto, a=b=c=0, sendo: x=1, y=-5, z=0. Nas coordenadas iniciais, o centro da figura está no ponto (1, -5, 0).
Elipsóide será obtido a partir de duas elipses: a primeira no plano XY e a segunda no plano XZ (ou YZ - não importa). Os coeficientes pelos quais as variáveis são divididas são elevados ao quadrado na equação canônica. Portanto, no exemplo acima, seria mais correto dividir pela raiz de dois, um e a raiz de três.
O eixo menor da primeira elipse, paralelo ao eixo Y, é dois. O eixo maior paralelo ao eixo x é duas raízes de dois. O eixo menor da segunda elipse, paralelo ao eixo Y, permanece o mesmo - é igual a dois. E o eixo maior, paralelo ao eixo Z, é igual a duas raízes de três.
Com a ajuda dos dados obtidos da equação original convertendo para a forma canônica, podemos desenhar um elipsóide.
Resumindo
Coberto neste artigoo tema é bastante extenso, mas, na verdade, como você pode ver agora, não é muito complicado. Seu desenvolvimento, de fato, termina no momento em que você memoriza os nomes e as equações das superfícies (e, claro, como elas se parecem). No exemplo acima, discutimos cada etapa em detalhes, mas trazer a equação para a forma canônica requer conhecimento mínimo de matemática superior e não deve causar dificuldades para o aluno.
Análise do cronograma futuro sobre a igualdade existente já é uma tarefa mais difícil. Mas para sua solução bem sucedida, basta entender como as curvas de segunda ordem correspondentes são construídas - elipses, parábolas e outras.
Casos de degeneração - uma seção ainda mais simples. Devido à ausência de algumas variáveis, não apenas os cálculos são simplificados, como mencionado anteriormente, mas também a própria construção.
Assim que você puder nomear com confiança todos os tipos de superfícies, varie as constantes, transformando o gráfico em uma ou outra forma - o tópico será dominado.
Sucesso nos estudos!
