O paradoxo da teoria da escolha pública foi descrito pela primeira vez pelo Marquês Condorcet em 1785, que foi generalizado com sucesso nos anos 50 do século passado pelo economista americano K. Arrow. O teorema de Arrow responde a uma pergunta muito simples na teoria da decisão coletiva. Digamos que haja múltiplas escolhas em política, projetos públicos ou distribuição de renda, e há pessoas cujas preferências determinam essas escolhas.
A questão é quais procedimentos existem para determinar qualitativamente a escolha. E como aprender sobre preferências, sobre o ordenamento coletivo ou social das alternativas, da melhor para a pior. A resposta de Arrow a esta pergunta surpreendeu muitos.
O teorema de Arrow diz que não existem tais procedimentos - em qualquer caso, eles não correspondem a certas e bastante razoáveis preferências das pessoas. O quadro técnico de Arrow, no qual ele deu um significado claro ao problema da contratação social, e sua resposta rigorosa são agora amplamente utilizados para estudar problemas de economia social. O próprio teorema formou a base da moderna teoria da escolha pública.
Teoria da Escolha Pública
O teorema de Arrow mostra que se os eleitores têm pelo menos três alternativas, então não existe um sistema eleitoral que possa transformar a escolha dos indivíduos em opinião pública.
A declaração chocante veio do economista e prêmio Nobel Kenneth Joseph Arrow, que demonstrou esse paradoxo em sua tese de doutorado e o popularizou em seu livro Social Choice and Individual Values, de 1951. O título do artigo original é "Dificuldades no Conceito de Previdência Social".
O teorema de Arrow afirma que é impossível projetar um sistema eleitoral com ordem que sempre atenda a critérios justos:
- Quando um eleitor escolhe a alternativa X em vez de Y, então a comunidade de eleitores preferirá X em vez de Y. Se as escolhas de cada um dos eleitores X e Y permanecerem in alteradas, então a escolha da sociedade X e Y será a mesmo se os eleitores escolherem outros pares de X e Z, Y e Z, ou Z e W.
- Não existe um "ditador de escolha" porque um eleitor não pode influenciar a escolha de um grupo.
- Os sistemas eleitorais existentes não cobrem os requisitos exigidos, pois fornecem mais informações do que a classificação ordinal.
Sistemas de gestão social do Estado
Embora o economista americano Kenneth Arrow tenha recebido o Prêmio Nobel de Economia, o trabalho foi mais útil para o desenvolvimento das ciências sociais, pois o "Teorema da Impossibilidade" de Arrow marcou o início de uma direção completamente nova na economia - a escolha social. Esta indústria está tentando analisar matematicamente a adoção de decisões conjuntas, em particular no campo dos sistemas públicos de gestão social.
Escolha é democracia em ação. As pessoas vão às urnas e expressam suas preferências e, no final, as preferências de muitas pessoas devem se unir para tomar uma decisão conjunta. É por isso que a escolha do método de votação é muito importante. Mas existe realmente um voto perfeito? De acordo com os resultados da teoria de Arrow, obtidos em 1950, a resposta é não. Se "ideal" significa um método de votação preferencial que atenda aos critérios definidos por métodos de votação razoáveis.
O método de votação preferido é o ranking, onde os eleitores avaliam todos os candidatos de acordo com suas preferências, e com base nessas classificações, o resultado é: outra lista de todos os candidatos a ser submetida pela vontade comum do povo. De acordo com o Teorema da Impossibilidade de Arrow, um método de votação razoável pode ser especificado:
- Sem ditadores (ND) - o resultado nem sempre tem que corresponder à avaliação de uma pessoa em particular.
- Eficiência de Pareto (PE) - se cada eleitor preferir o candidato A ao candidato B, então o resultado deve indicarcandidato A sobre o candidato B.
- Independência de Alternativas Incompatíveis (IIA) é a pontuação relativa dos candidatos A, B e não deve mudar se os eleitores alterarem a pontuação de outros candidatos, mas não alterarem suas pontuações relativas de A e B.
De acordo com o teorema de Arrow, verifica-se que no caso de eleições com três ou mais critérios, não há funções de escolha social que seriam simultaneamente adequadas para ND, PE e IIA.
Sistema de seleção racional
A necessidade de agregação de preferências se manifesta em muitas áreas da vida humana:
- A economia do bem-estar usa métodos microeconômicos para medir o bem-estar no nível econômico agregado. Uma metodologia típica começa por derivar ou inferir uma função de bem-estar, que pode então ser usada para classificar alocações de recursos economicamente sólidas em termos de bem-estar. Nesse caso, os estados estão tentando encontrar um resultado economicamente viável e sustentável.
- Na teoria da decisão, quando uma pessoa deve fazer uma escolha racional baseada em vários critérios.
- Nos sistemas eleitorais, que são mecanismos para encontrar uma solução única a partir das preferências de muitos eleitores.
Sob as condições do teorema de Arrow, distingue-se a ordem das preferências para um determinado conjunto de parâmetros (resultados). Cada unidade da sociedade, ou cada critério de decisão, atribui uma certa ordem de preferência em relação a um conjunto de resultados. A sociedade procura um sistemavotação baseada em classificação, chamada de função de bem-estar.
Esta regra de agregação de preferência transforma um perfil de preferência definido em uma ordem pública global. A declaração de Arrow afirma que, se um órgão de governo tiver pelo menos dois eleitores e três critérios de seleção, é impossível criar uma função de bem-estar que satisfaça todas essas condições de uma só vez.
Para cada conjunto de preferências individuais do eleitor, a função de bem-estar deve realizar uma classificação de seleção pública única e abrangente:
- Isso deve ser feito de forma que o resultado seja uma avaliação completa das preferências do público.
- Deve dar a mesma pontuação de forma determinística quando as preferências dos eleitores parecem ser as mesmas.
Independência de Alternativas Irrelevantes (IIA)
A escolha entre X e Y está ligada apenas às preferências do indivíduo entre X e Y - isso é independência em pares (independência de pares), de acordo com o teorema da "Impossibilidade da Democracia" de Arrow. Ao mesmo tempo, uma mudança na avaliação de uma pessoa sobre alternativas irrelevantes localizadas fora de tais grupos não afeta a avaliação social desse subconjunto. Por exemplo, enviar um terceiro candidato em uma eleição com dois candidatos não afeta o resultado da eleição, a menos que o terceiro candidato vença.
A sociedade é caracterizada pela monotonia e uma combinação positiva de valores sociais e individuais. Se uma pessoa altera sua ordem de preferência promovendo uma determinada opção, então a ordemas preferências da sociedade devem corresponder à mesma opção sem mudança. Uma pessoa não deve ser capaz de prejudicar uma opção ao precificá-la mais alto.
No teorema da impossibilidade, a eficiência e a justiça na sociedade são asseguradas pela soberania do cidadão. Toda ordem social possível de preferência deve ser alcançável com algum conjunto de ordens de preferência individual. Isso significa que a função de bem-estar é sobrejetora - ela tem um espaço alvo ilimitado. Uma versão posterior (1963) do teorema de Arrow substituiu a monotonicidade e os critérios de não sobreposição.
Pareto. Eficiência ou unanimidade?
Se cada pessoa prefere uma determinada opção a outra, então a ordem de preferência social também deve fazê-lo. É essencial que a função assistencial seja minimamente sensível ao perfil de preferência. Esta versão posterior é mais geral e tem condições um pouco mais fracas. Os axiomas de uniformidade, sem sobreposição, juntamente com IIA, denotam eficiência de Pareto. Ao mesmo tempo, não implica sobreposição de IIA e não implica monotonicidade.
IIA tem três propósitos:
- Padrão. Alternativas irrelevantes não devem importar.
- Prático. Uso de informações mínimas.
- Estratégico. Fornecer os incentivos certos para identificar verdadeiramente as preferências individuais. Embora o Objetivo Estratégico seja conceitualmente diferente do IIA, eles estão intimamente relacionados.
A eficiência de Pareto, em homenagem ao economista e cientista político italiano Vilfredo Pareto (1848-1923), é utilizada na economia neoclássica juntamente com o conceito teórico de concorrência perfeita como referência para avaliar a eficiência de mercados reais. Deve-se notar que nenhum dos resultados é alcançado fora da teoria econômica. Hipoteticamente, se existisse competição perfeita e os recursos fossem usados da forma mais eficiente possível, então todos teriam o mais alto padrão de vida, ou eficiência de Pareto.
Na prática, é impossível realizar qualquer ação social, como uma mudança na política econômica, sem piorar a situação de pelo menos uma pessoa, então o conceito de melhoria de Pareto encontrou aplicação mais ampla na economia. Uma melhoria de Pareto ocorre quando uma mudança na distribuição não prejudica ninguém e ajuda pelo menos uma pessoa, dada a distribuição inicial de bens a um grupo de pessoas. A teoria sugere que as melhorias de Pareto continuarão a agregar valor à economia até que um equilíbrio de Pareto seja alcançado, quando não mais melhorias podem ser feitas.
Enunciado formal do teorema
Seja A o conjunto de resultados, N o número de eleitores ou critérios de decisão. Denote o conjunto de todas as ordenações lineares completas de A a L (A). A função previdenciária estrita (regra de agregação de preferência) é uma função que agrega as preferências dos eleitores em uma única ordem de preferência porA.
N - uma tupla (R 1, …, R N) ∈ L (A) N das preferências dos eleitores é chamada de perfil de preferência. Em sua forma mais forte e simples, o teorema da impossibilidade de Arrow afirma que sempre que o conjunto de alternativas possíveis A tem mais de 2 elementos, as três condições a seguir se tornam inconsistentes:
- Unanimidade, ou eficiência de Pareto fraca. Se a alternativa A está estritamente acima de B para todas as ordens R 1, …, R N, então A está estritamente acima de B em F (R 1, R 2, …, R N). Ao mesmo tempo, a unanimidade implica a ausência de imposição.
- Não-ditadura. Não existe um "eu" individual cujas preferências estritas sempre prevaleçam. Ou seja, não existe I ∈ {1, …, N }, que para todo (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, classifica estritamente acima de B de R. "I" classifica estritamente acima de B sobre F (R 1, R 2, …, RN), para todos os A e B.
- Independência de alternativas irrelevantes. Para dois perfis de preferência (R 1, …, R N) e (S 1, …, S N) tais que para todos os indivíduos I, as alternativas A e B têm a mesma ordem em R i que em S i, as alternativas A e B têm a mesma ordem mesma ordem em F (R 1, R 2, …, RN) como em F (S 1, S2, …, S N).
Interpretação do teorema
Embora o Teorema da Impossibilidade seja matematicamente comprovado, muitas vezes é expresso de forma não matemática com a afirmação de que nenhum método de votação é justo, todo método de votação por classificação tem falhas, ou o único método de votação que não está errado é uma ditadura. Estas declarações são uma simplificaçãoResultado de Arrow, que nem sempre é considerado correto. O teorema de Arrow afirma que um mecanismo de votação preferencial determinístico, ou seja, aquele em que a ordem de preferência é a única informação na votação, e qualquer conjunto possível de votos produz um resultado único, não pode satisfazer todas as condições acima ao mesmo tempo.
Vários teóricos sugeriram relaxar o critério IIA como uma saída para o paradoxo. Os proponentes dos métodos de classificação argumentam que o IIA é um critério desnecessariamente forte que é violado na maioria dos sistemas eleitorais úteis. Os proponentes dessa posição apontam que a falha em atender ao critério padrão do IIA é trivialmente implícita pela possibilidade de preferências cíclicas. Se os eleitores votarem assim:
- 1 voto para A> B> C;
- 1 voto para B> C> A;
- 1 voto para C> A> B.
Então, a maioria das preferências do grupo duplo é que A vence B, B vence C e C vence A, e isso resulta em uma preferência tesoura-pedra-tesoura para qualquer comparação de pares.
Neste caso, qualquer regra de agregação que satisfaça o requisito básico da maioria de que o candidato mais votado deve vencer a eleição falhará no critério do IIA se as preferências sociais forem transitivas ou acíclicas. Para ver isso, supõe-se que tal regra satisfaça o IIA. Uma vez que as preferências da maioriasão observados, a sociedade favorece A - B (dois votos para A> B e um para B> A), B - C e C - A. Assim, cria-se um ciclo que contraria a suposição de que as preferências sociais são transitivas.
Então, o teorema de Arrow de fato mostra que qualquer sistema eleitoral com mais vitórias é um jogo não trivial, e que a teoria dos jogos deve ser usada para prever o resultado da maioria dos mecanismos de votação. Isso pode ser visto como um resultado desencorajador, pois o jogo não deve ter equilíbrios eficientes, por exemplo, votar pode levar a uma alternativa que ninguém realmente queria, mas todos votaram.
Escolha social em vez de preferência
A escolha coletiva racional do mecanismo de votação de acordo com o teorema de Arrow não é o objetivo da tomada de decisão social. Muitas vezes é suficiente encontrar alguma alternativa. A abordagem focada na escolha alternativa explora tanto as funções de escolha social que mapeiam cada perfil de preferência, quanto as regras de escolha social, funções que mapeiam cada perfil de preferência para um subconjunto de alternativas.
Quanto às funções de escolha social, é bem conhecido o teorema de Gibbard-Satterthwaite, que afirma que se uma função de escolha social cujo intervalo contém pelo menos três alternativas é estrategicamente estável, então é ditatorial. Considerando as regras de escolha social, eles acreditam que as preferências sociais estão por trás deles.
Ou seja, eles consideram a regra como uma escolhaelementos máximos - as melhores alternativas a qualquer preferência social. O conjunto de elementos de preferência social máxima é chamado de núcleo. As condições para a existência de uma alternativa no núcleo foram estudadas em duas abordagens. A primeira abordagem assume que as preferências são pelo menos acíclicas, o que é necessário e suficiente para que as preferências tenham um elemento máximo em qualquer subconjunto finito.
Por esta razão, está intimamente relacionado com a transitividade relaxante. A segunda abordagem descarta a suposição de preferências acíclicas. Kumabe e Mihara adotaram essa abordagem. Eles fizeram a suposição mais consistente de que as preferências individuais são mais importantes.
Aversão ao risco relativo
Existem vários indicadores de aversão ao risco expressos pela função utilidade no teorema de Arrow Pratt. Aversão absoluta ao risco - quanto maior a curvatura u(c), maior a aversão ao risco. No entanto, como as funções de utilidade esperadas não são definidas de forma única, a medida necessária permanece constante em relação a essas transformações. Uma dessas medidas é a medida Arrow-Pratt de aversão absoluta ao risco (ARA), depois que os economistas Kenneth Arrow e John W. Pratt definiram a taxa de aversão absoluta ao risco como
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, onde: u '(c) e u '' (c) denotam a primeira e a segunda derivada em relação a "c" de "u (c)".
Dados experimentais e empíricos são geralmente consistentes com uma diminuição na aversão absoluta ao risco. medida relativaA Aversão ao Risco Arrow Pratt (ACR) ou Índice de Aversão ao Risco Relativo é definido por:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Assim como na aversão absoluta ao risco, os respectivos termos utilizados são aversão relativa ao risco constante (CRRA) e aversão ao risco relativo decrescente/aumentando (DRRA/IRRA). A vantagem dessa quantidade é que ainda é uma medida válida de aversão ao risco, mesmo que a função de utilidade mude de propensão ao risco, ou seja, a utilidade não é estritamente convexa/côncava em todos os "c". Um RRA constante implica uma redução no ARA da teoria de Arrow Pratt, mas o inverso nem sempre é verdadeiro. Como exemplo específico de aversão ao risco relativo constante, a função de utilidade: u(c)=log(c), implica RRA=1.
Gráfico da esquerda: a função de utilidade que evita riscos é côncava por baixo e a função de utilidade avessa ao risco é convexa. Gráfico do meio - no espaço dos valores esperados de desvio padrão, as curvas de indiferença de risco se inclinam para cima. Gráfico à direita - com probabilidades fixas dos dois estados alternativos 1 e 2, as curvas de indiferença avessas ao risco sobre os pares de resultados dependentes do estado são convexas.
Sistema Eleitoral Nominal
Inicialmente, Arrow rejeitou a utilidade cardinal como uma ferramenta importante para expressar o bem-estar social, então ele concentrou suas reivindicações na classificação de preferências, mas depoisconcluiu que um sistema de classificação cardinal com três ou quatro classes é provavelmente o melhor. De acordo com o teorema da impossibilidade, a escolha pública pressupõe que as preferências individuais e sociais são ordenadas, ou seja, satisfação com completude e transitividade em várias alternativas. Isso significa que se as preferências são representadas por uma função de utilidade, seu valor é útil no sentido de que faz sentido, pois um valor mais alto significa uma alternativa melhor.
Aplicações práticas do teorema são usadas para avaliar amplas categorias de sistemas de votação. O principal argumento de Arrow argumenta que os sistemas de votação por ordem devem sempre violar pelo menos um dos critérios de justiça que ele delineou. A implicação prática disso é que os sistemas de votação que não estão em ordem precisam ser estudados. Por exemplo, sistemas de votação de classificação em que os eleitores dão pontos a cada candidato podem atender a todos os critérios da Arrow.
Na verdade, o mecanismo de votação, a escolha racional coletiva do Teorema de Arrow e o diálogo subsequente, foi incrivelmente enganoso no campo da votação. Muitas vezes, estudantes e não especialistas acreditam que nenhum sistema de votação pode atender aos critérios de justiça da Arrow, quando, na verdade, os sistemas de classificação podem e atendem a todos os critérios da Arrow.
