Teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Na descrição matemática do movimento rotacional, é importante conhecer o momento de inércia do sistema em relação ao eixo. No caso geral, o procedimento para encontrar essa quantidade envolve a implementação do processo de integração. O chamado teorema de Steiner facilita o cálculo. Vamos considerá-lo com mais detalhes no artigo.

Qual é o momento de inércia?

Antes de dar a formulação do teorema de Steiner, é necessário tratar do próprio conceito de momento de inércia. Suponha que haja algum corpo de certa massa e forma arbitrária. Este corpo pode ser um ponto material ou qualquer objeto bidimensional ou tridimensional (haste, cilindro, bola, etc.). Se o objeto em questão faz um movimento circular em torno de algum eixo com aceleração angular constante α, então a seguinte equação pode ser escrita:

M=Iα

Aqui, o valor M representa o momento total das forças, que dá aceleração α a todo o sistema. O coeficiente de proporcionalidade entre eles - I, é chamadomomento de inércia. Esta quantidade física é calculada usando a seguinte fórmula geral:

I=∫_m (r²dm)

Aqui r é a distância entre o elemento com massa dm e o eixo de rotação. Esta expressão significa que é necessário encontrar a soma dos produtos das distâncias ao quadrado r² e a massa elementar dm. Ou seja, o momento de inércia não é uma característica pura do corpo, o que o distingue da inércia linear. Depende da distribuição de massa ao longo do objeto que gira, bem como da distância ao eixo e da orientação do corpo em relação a ele. Por exemplo, uma haste terá um I diferente se for girada em torno do centro de massa e em torno da extremidade.

Momento de inércia e teorema de Steiner

O famoso matemático suíço Jakob Steiner provou o teorema dos eixos paralelos e do momento de inércia, que agora leva seu nome. Este teorema postula que o momento de inércia para absolutamente qualquer corpo rígido de geometria arbitrária em relação a algum eixo de rotação é igual à soma do momento de inércia em torno do eixo que intercepta o centro de massa do corpo e é paralelo ao primeiro, e o produto da massa do corpo pelo quadrado da distância entre esses eixos. Matematicamente, esta formulação é escrita da seguinte forma:

I_Z=I_O + ml²

I_Z e I_O - momentos de inércia em torno do eixo Z e do eixo O paralelos a ele, que passa pelo centro de massa do corpo, l - distância entre as linhas Z e O.

O teorema permite, conhecendo o valor de I_O, calcularqualquer outro momento I_Z sobre um eixo paralelo a O.

Prova do teorema

A fórmula do teorema de Steiner pode ser facilmente obtida por você mesmo. Para fazer isso, considere um corpo arbitrário no plano xy. Deixe a origem das coordenadas passar pelo centro de massa deste corpo. Vamos calcular o momento de inércia I_O que passa pela origem perpendicular ao plano xy. Como a distância a qualquer ponto do corpo é expressa pela fórmula r=√ (x² + y²), então obtemos a integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Agora vamos mover o eixo paralelo ao longo do eixo x por uma distância l, por exemplo, no sentido positivo, então o cálculo para o novo eixo do momento de inércia ficará assim:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Expanda o quadrado completo entre colchetes e divide os integrandos, temos:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

O primeiro destes termos é o valor I_O, o terceiro termo, após a integração, dá o termo l²m, e aqui o segundo termo é zero. A zeragem da integral especificada deve-se ao fato de ela ser retirada do produto de x e elementos de massa dm, que ema média dá zero, pois o centro de massa está na origem. Como resultado, obtém-se a fórmula do teorema de Steiner.

O caso considerado no plano pode ser generalizado para um corpo tridimensional.

Verificando a fórmula de Steiner no exemplo de uma haste

Vamos dar um exemplo simples para demonstrar como usar o teorema acima.

Sabe-se que para uma barra de comprimento L e massa m, o momento de inércia I_O(o eixo passa pelo centro de massa) é igual a m L² /12, e o momento I_Z(o eixo passa pela extremidade da haste) é igual a mL 2^{/3. Vamos verificar esses dados usando o teorema de Steiner. Como a distância entre os dois eixos é L/2, obtemos o momento I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Ou seja, verificamos a fórmula de Steiner e obtivemos o mesmo valor para I_Z como na fonte.

Cálculos semelhantes podem ser realizados para outros corpos (cilindro, esfera, disco), obtendo os momentos de inércia necessários e sem realizar integração.

Momento de inércia e eixos perpendiculares

O teorema considerado diz respeito aos eixos paralelos. Para completar as informações, também é útil fornecer um teorema para eixos perpendiculares. É formulado da seguinte forma: para um objeto plano de forma arbitrária, o momento de inércia em torno de um eixo perpendicular a ele será igual à soma de dois momentos de inércia em torno de doisno plano do objeto de eixos, com todos os três eixos passando pelo mesmo ponto. Matematicamente, isso é escrito da seguinte forma:

I_z=I_x + I_y

Aqui z, x, y são três eixos de rotação mutuamente perpendiculares.

A diferença essencial entre este teorema e o teorema de Steiner é que ele é aplicável apenas a objetos sólidos planos (bidimensionais). No entanto, na prática é amplamente utilizado, cortando mentalmente o corpo em camadas separadas e depois somando os momentos de inércia obtidos.