A julgar pela popularidade do pedido "Teorema de Fermat - uma prova curta", este problema matemático é realmente de interesse para muitos. Este teorema foi declarado pela primeira vez por Pierre de Fermat em 1637 na borda de uma cópia da Aritmética, onde ele afirmou que tinha uma solução que era grande demais para caber na borda.
A primeira prova bem sucedida foi publicada em 1995 - foi a prova completa do Teorema de Fermat por Andrew Wiles. Foi descrito como "progresso impressionante" e levou Wiles a receber o Prêmio Abel em 2016. Embora descrita de forma relativamente breve, a prova do teorema de Fermat também provou muito do teorema da modularidade e abriu novas abordagens para vários outros problemas e métodos eficazes para levantar a modularidade. Essas realizações avançaram a matemática 100 anos no futuro. A prova do pequeno teorema de Fermat hoje não éé algo fora do comum.
O problema não resolvido estimulou o desenvolvimento da teoria algébrica dos números no século XIX e a busca por uma prova do teorema da modularidade no século XX. Este é um dos teoremas mais notáveis da história da matemática, e até a prova de divisão completa do Último Teorema de Fermat, estava no Guinness Book of Records como "o problema matemático mais difícil", uma das características do qual é que tem o maior número de provas malsucedidas.
Histórico
Equação pitagórica x2 + y2=z2 tem um número infinito de positivos soluções inteiras para x, y e z. Essas soluções são conhecidas como trindades pitagóricas. Por volta de 1637, Fermat escreveu na borda do livro que a equação mais geral a + b =cnão tem soluções em números naturais se n for um inteiro maior que 2. Embora o próprio Fermat afirmasse ter uma solução para seu problema, ele não deixou detalhes sobre sua prova. A prova elementar do teorema de Fermat, reivindicada por seu criador, foi antes sua invenção jactanciosa. O livro do grande matemático francês foi descoberto 30 anos após sua morte. Esta equação, chamada Último Teorema de Fermat, permaneceu sem solução na matemática por três séculos e meio.
O teorema acabou se tornando um dos problemas não resolvidos mais notáveis da matemática. As tentativas de provar isso causaram um desenvolvimento significativo da teoria dos números, e com a passagemtempo, o último teorema de Fermat ficou conhecido como um problema não resolvido em matemática.
Uma Breve História das Evidências
Se n=4, como o próprio Fermat provou, basta provar o teorema para índices n que são números primos. Nos dois séculos seguintes (1637-1839) a conjectura só foi comprovada para os primos 3, 5 e 7, embora Sophie Germain tenha atualizado e provado uma abordagem que se aplicava a toda a classe de primos. Em meados do século 19, Ernst Kummer estendeu isso e provou o teorema para todos os primos regulares, em que os primos irregulares foram analisados individualmente. Com base no trabalho de Kummer e usando pesquisa computacional sofisticada, outros matemáticos conseguiram estender a solução do teorema, com o objetivo de cobrir todos os principais expoentes até quatro milhões, mas a prova para todos os expoentes ainda não estava disponível (o que significa que os matemáticos geralmente considerada a solução do teorema impossível, extremamente difícil ou inatingível com o conhecimento atual).
O trabalho de Shimura e Taniyama
Em 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama suspeitaram que havia uma conexão entre curvas elípticas e formas modulares, dois ramos muito diferentes da matemática. Conhecido na época como a conjectura de Taniyama-Shimura-Weyl e (em última análise) como o teorema da modularidade, existia por conta própria, sem nenhuma conexão aparente com o último teorema de Fermat. Ele próprio foi amplamente considerado como um importante teorema matemático, mas foi considerado (como o teorema de Fermat) impossível de provar. Em queAo mesmo tempo, a prova do Último Teorema de Fermat (dividindo e aplicando fórmulas matemáticas complexas) foi realizada apenas meio século depois.
Em 1984, Gerhard Frey percebeu uma conexão óbvia entre esses dois problemas anteriormente não relacionados e não resolvidos. Uma confirmação completa de que os dois teoremas estavam intimamente relacionados foi publicada em 1986 por Ken Ribet, que se baseou em uma prova parcial de Jean-Pierre Serra, que provou tudo, exceto uma parte, conhecida como "hipótese épsilon". Simplificando, esses trabalhos de Frey, Serra e Ribe mostraram que, se o teorema da modularidade pudesse ser provado, pelo menos para uma classe semi-estável de curvas elípticas, então a prova do último teorema de Fermat também seria descoberta mais cedo ou mais tarde. Qualquer solução que possa contradizer o último teorema de Fermat também pode ser usada para contradizer o teorema da modularidade. Portanto, se o teorema da modularidade for verdadeiro, então, por definição, não pode haver uma solução que contradiga o último teorema de Fermat, o que significa que deveria ter sido provado em breve.
Embora ambos os teoremas fossem problemas difíceis em matemática, considerados insolúveis, o trabalho dos dois japoneses foi a primeira sugestão de como o último teorema de Fermat poderia ser estendido e provado para todos os números, não apenas alguns. Importante para os pesquisadores que escolheram o tema de estudo foi o fato de que, ao contrário do último teorema de Fermat, o teorema da modularidade foi a principal área ativa de pesquisa, para a qualevidência foi desenvolvida, e não apenas estranheza histórica, para que o tempo gasto em seu trabalho pudesse ser justificado do ponto de vista profissional. No entanto, o consenso geral foi que resolver a conjectura de Taniyama-Shimura provou ser inapropriado.
Último Teorema de Farm: prova de Wiles
Ao saber que Ribet provou que a teoria de Frey estava correta, o matemático inglês Andrew Wiles, que se interessou pelo Último Teorema de Fermat desde a infância e tem experiência em trabalhar com curvas elípticas e domínios adjacentes, decidiu tentar provar o Taniyama-Shimura Conjecturas como forma de provar o Último Teorema de Fermat. Em 1993, seis anos depois de anunciar seu objetivo, enquanto trabalhava secretamente no problema de resolver o teorema, Wiles conseguiu provar uma conjectura relacionada, que por sua vez o ajudaria a provar o último teorema de Fermat. O documento de Wiles era enorme em tamanho e escopo.
Uma falha foi descoberta em uma parte de seu artigo original durante a revisão por pares e exigiu mais um ano de colaboração com Richard Taylor para resolver o teorema em conjunto. Como resultado, a prova final de Wiles do Último Teorema de Fermat não demorou a chegar. Em 1995, foi publicado em uma escala muito menor do que o trabalho matemático anterior de Wiles, ilustrando que ele não se enganou em suas conclusões anteriores sobre a possibilidade de provar o teorema. A conquista de Wiles foi amplamente divulgada na imprensa popular e popularizada em livros e programas de televisão. As partes restantes da conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, que agora foram comprovadas econhecido como o teorema da modularidade, foram posteriormente comprovados por outros matemáticos que construíram o trabalho de Wiles entre 1996 e 2001. Por sua conquista, Wiles foi homenageado e recebeu vários prêmios, incluindo o Prêmio Abel de 2016.
A prova de Wiles do último teorema de Fermat é um caso especial de resolução do teorema da modularidade para curvas elípticas. No entanto, este é o caso mais famoso de uma operação matemática em grande escala. Além de resolver o teorema de Ribe, o matemático britânico também obteve uma prova do último teorema de Fermat. O Último Teorema de Fermat e o Teorema da Modularidade eram quase universalmente considerados improváveis pelos matemáticos modernos, mas Andrew Wiles foi capaz de provar ao mundo científico que até os especialistas podem estar errados.
Wyles anunciou pela primeira vez sua descoberta na quarta-feira, 23 de junho de 1993, em uma palestra em Cambridge intitulada "Formas Modulares, Curvas Elípticas e Representações de Galois". No entanto, em setembro de 1993, descobriu-se que seus cálculos continham um erro. Um ano depois, em 19 de setembro de 1994, no que ele chamaria de "o momento mais importante de sua vida profissional", Wiles se deparou com uma revelação que lhe permitiu fixar a solução do problema ao ponto de satisfazer os requisitos matemáticos. comunidade.
Descrição do trabalho
Prova do Teorema de Fermat por Andrew Wiles usa muitos métodos de geometria algébrica e teoria dos números e tem muitas ramificações nestesáreas da matemática. Ele também usa as construções padrão da geometria algébrica moderna, como a categoria de esquemas e a teoria de Iwasawa, bem como outros métodos do século 20 que não estavam disponíveis para Pierre de Fermat.
Os dois artigos contendo as evidências têm 129 páginas e foram escritos ao longo de sete anos. John Coates descreveu essa descoberta como uma das maiores conquistas da teoria dos números, e John Conway a chamou de a maior conquista matemática do século XX. Wiles, para provar o último teorema de Fermat provando o teorema da modularidade para o caso especial de curvas elípticas semiestáveis, desenvolveu métodos poderosos para levantar a modularidade e abriu novas abordagens para vários outros problemas. Para resolver o último teorema de Fermat, ele foi condecorado e recebeu outros prêmios. Quando se soube que Wiles havia ganhado o Prêmio Abel, a Academia Norueguesa de Ciências descreveu sua conquista como "uma prova deliciosa e elementar do último teorema de Fermat."
Como foi
Uma das pessoas que revisou o manuscrito original de Wiles com a solução do teorema foi Nick Katz. No decorrer de sua revisão, ele fez ao britânico uma série de perguntas esclarecedoras que levaram Wiles a admitir que seu trabalho claramente contém uma lacuna. Em uma parte crítica da prova, foi cometido um erro que forneceu uma estimativa para a ordem de um determinado grupo: o sistema de Euler usado para estender o método de Kolyvagin e Flach estava incompleto. O erro, no entanto, não tornou seu trabalho inútil - cada trabalho de Wiles era muito significativo e inovador por si só, assim como muitosdesenvolvimentos e métodos que ele criou no decorrer de seu trabalho e que afetaram apenas uma parte do manuscrito. No entanto, este trabalho original, publicado em 1993, não tinha realmente uma prova do Último Teorema de Fermat.
Wyles passou quase um ano tentando redescobrir uma solução para o teorema, primeiro sozinho e depois em colaboração com seu ex-aluno Richard Taylor, mas tudo parecia ser em vão. No final de 1993, circularam rumores de que a prova de Wiles havia falhado nos testes, mas a gravidade dessa falha não era conhecida. Os matemáticos começaram a pressionar Wiles a revelar os detalhes de seu trabalho, feito ou não, para que a comunidade mais ampla de matemáticos pudesse explorar e usar tudo o que ele fosse capaz de realizar. Em vez de corrigir rapidamente seu erro, Wiles só descobriu aspectos adicionais difíceis na prova do Último Teorema de Fermat e finalmente percebeu o quão difícil era.
Wyles afirma que na manhã de 19 de setembro de 1994, ele estava prestes a desistir e desistir, e estava quase resignado a falhar. Ele estava pronto para publicar seu trabalho inacabado para que outros pudessem construir sobre ele e descobrir onde ele estava errado. O matemático inglês decidiu se dar uma última chance e analisou o teorema pela última vez para tentar entender as principais razões pelas quais sua abordagem não funcionou, quando de repente percebeu que a abordagem Kolyvagin-Flac não funcionaria até que eletambém incluirá a teoria de Iwasawa no processo de prova, fazendo com que funcione.
Em 6 de outubro, Wiles pediu a três colegas (incluindo F altins) para revisar seu novo trabalho, e em 24 de outubro de 1994, ele apresentou dois manuscritos - "Curvas elípticas modulares e último teorema de Fermat" e "Propriedades teóricas do anel de algumas álgebras de Hecke", o segundo dos quais Wiles co-escreveu com Taylor e provou que certas condições foram atendidas para justificar o passo corrigido no artigo principal.
Esses dois artigos foram revisados e finalmente publicados como uma edição de texto completo nos Annals of Mathematics de maio de 1995. Os novos cálculos de Andrew foram amplamente analisados e eventualmente aceitos pela comunidade científica. Nesses trabalhos, foi estabelecido o teorema da modularidade para curvas elípticas semiestáveis - o último passo para provar o Último Teorema de Fermat, 358 anos após sua criação.
História do Grande Problema
Resolver este teorema tem sido considerado o maior problema da matemática por muitos séculos. Em 1816 e em 1850, a Academia Francesa de Ciências ofereceu um prêmio para uma prova geral do Último Teorema de Fermat. Em 1857, a Academia concedeu 3.000 francos e uma medalha de ouro a Kummer por sua pesquisa sobre números ideais, embora ele não tenha se candidatado ao prêmio. Outro prêmio foi oferecido a ele em 1883 pela Academia de Bruxelas.
Prêmio Wolfskell
Em 1908, o industrial alemão e matemático amador Paul Wolfskel legou 100.000 marcos de ouro (uma grande quantia para a época)Academia de Ciências de Göttingen, para que esse dinheiro se torne um prêmio pela prova completa do último teorema de Fermat. Em 27 de junho de 1908, a Academia publicou nove regras de premiação. Entre outras coisas, essas regras exigiam que a prova fosse publicada em um periódico revisado por pares. O prêmio seria entregue apenas dois anos após a publicação. A competição deveria expirar em 13 de setembro de 2007 - cerca de um século depois de ter começado. Em 27 de junho de 1997, Wiles recebeu o prêmio em dinheiro de Wolfschel e mais US$ 50.000. Em março de 2016, ele recebeu € 600.000 do governo norueguês como parte do Prêmio Abel por "uma prova incrível do último teorema de Fermat com a ajuda da conjectura de modularidade para curvas elípticas semiestáveis, abrindo uma nova era na teoria dos números". Foi o triunfo mundial do humilde inglês.
Antes da prova de Wiles, o teorema de Fermat, como mencionado anteriormente, foi considerado absolutamente insolúvel por séculos. Milhares de evidências incorretas em vários momentos foram apresentadas ao comitê Wolfskell, totalizando aproximadamente 10 pés (3 metros) de correspondência. Apenas no primeiro ano de existência do prémio (1907-1908) foram apresentadas 621 candidaturas alegando a resolução do teorema, embora na década de 1970 o seu número tenha diminuído para cerca de 3-4 candidaturas por mês. De acordo com F. Schlichting, revisor de Wolfschel, a maioria das evidências foi baseada em métodos elementares ensinados nas escolas e muitas vezes foi apresentada como "pessoas com formação técnica, mas carreiras malsucedidas". Segundo o historiador da matemática Howard Aves, a últimaO teorema de Fermat estabeleceu uma espécie de recorde - este é o teorema com o maior número de provas incorretas.
Os louros da fazenda foram para os japoneses
Como mencionado anteriormente, por volta de 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama descobriram uma possível conexão entre dois ramos aparentemente completamente diferentes da matemática - curvas elípticas e formas modulares. O teorema da modularidade resultante (então conhecido como a conjectura de Taniyama-Shimura) afirma que toda curva elíptica é modular, o que significa que pode ser associada a uma forma modular única.
A teoria foi inicialmente descartada como improvável ou altamente especulativa, mas foi levada mais a sério quando o teórico dos números André Weil encontrou evidências para apoiar as conclusões japonesas. Como resultado, a hipótese tem sido muitas vezes referida como a hipótese de Taniyama-Shimura-Weil. Ela passou a fazer parte do programa Langlands, que é uma lista de hipóteses importantes que precisam ser comprovadas no futuro.
Mesmo após um exame minucioso, a conjectura foi reconhecida pelos matemáticos modernos como extremamente difícil, ou talvez inacessível à prova. Agora este teorema em particular está esperando por seu Andrew Wiles, que pode surpreender o mundo inteiro com sua solução.
Teorema de Fermat: prova de Perelman
Apesar do mito popular, o matemático russo Grigory Perelman, apesar de todo o seu gênio, não tem nada a ver com o teorema de Fermat. O que, no entanto, em nada diminui.inúmeras contribuições para a comunidade científica.
