Na geometria, duas características importantes são usadas para estudar figuras: os comprimentos dos lados e os ângulos entre eles. No caso de figuras espaciais, ângulos diedros são adicionados a essas características. Vamos considerar o que é e também descrever o método para determinar esses ângulos usando o exemplo de uma pirâmide.
O conceito de ângulo diedro
Todo mundo sabe que duas retas que se cruzam formam um ângulo com o vértice no ponto de sua interseção. Esse ângulo pode ser medido com um transferidor ou você pode usar funções trigonométricas para calculá-lo. O ângulo formado por dois ângulos retos é chamado de linear.
Agora imagine que no espaço tridimensional existem dois planos que se cruzam em linha reta. Eles são mostrados na imagem.
Um ângulo diedro é o ângulo entre dois planos que se cruzam. Assim como linear, é medido em graus ou radianos. Se a qualquer ponto da linha ao longo da qual os planos se cruzam, restaure duas perpendiculares,deitado nesses planos, então o ângulo entre eles será o diedro desejado. A maneira mais fácil de determinar esse ângulo é usar as equações gerais dos planos.
A equação dos planos e a fórmula do ângulo entre eles
A equação de qualquer plano no espaço em termos gerais é escrita como segue:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Aqui x, y, z são as coordenadas dos pontos pertencentes ao plano, os coeficientes A, B, C, D são alguns números conhecidos. A conveniência dessa igualdade para calcular ângulos diedros é que ela contém explicitamente as coordenadas do vetor de direção do plano. Vamos denotar por n¯. Então:
n¯=(A; B; C).
O vetor n¯ é perpendicular ao plano. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores de direção n1¯ e n2¯. Sabe-se da matemática que o ângulo formado por dois vetores é determinado exclusivamente a partir de seu produto escalar. Isso permite que você escreva uma fórmula para calcular o ângulo diedro entre dois planos:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Se substituirmos as coordenadas dos vetores, a fórmula será escrita explicitamente:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
O sinal de módulo no numerador é usado para definir apenas um ângulo agudo, pois um ângulo diedro é sempre menor ou igual a 90o.
Pirâmide e seus cantos
Pirâmide é uma figura formada por um n-gon e n triângulos. Aqui n é um número inteiro igual ao número de lados do polígono que é a base da pirâmide. Esta figura espacial é um poliedro ou poliedro, pois consiste em faces planas (lados).
Os ângulos diedros de uma pirâmide-poliedro podem ser de dois tipos:
- entre base e lado (triângulo);
- entre dois lados.
Se a pirâmide for considerada regular, então é fácil determinar os ângulos nomeados para ela. Para fazer isso, usando as coordenadas de três pontos conhecidos, deve-se compor uma equação de planos, e então usar a fórmula dada no parágrafo acima para o ângulo φ.
Abaixo damos um exemplo no qual mostramos como encontrar ângulos diedros na base de uma pirâmide quadrangular regular.
Uma pirâmide quadrangular regular e um ângulo na base
Assuma que é dada uma pirâmide regular de base quadrada. O comprimento do lado do quadrado é a, a altura da figura é h. Encontre o ângulo entre a base da pirâmide e seu lado.
Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas no centro do quadrado. Então as coordenadas dos pontosA, B, C, D mostrados na imagem serão:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Considere os planos ACB e ADB. Obviamente, o vetor de direção n1¯ para o plano ACB será:
1¯=(0; 0; 1).
Para determinar o vetor de direção n2¯ do plano ADB, proceda da seguinte forma: encontre dois vetores arbitrários que pertençam a ele, por exemplo, AD¯ e AB¯, então calcule seu trabalho vetorial. Seu resultado dará as coordenadas n2¯. Temos:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Como a multiplicação e divisão de um vetor por um número não muda sua direção, transformamos o n2¯ resultante, dividindo suas coordenadas por -a, temos:
2¯=(h; 0; a/2).
Definimos guias vetoriais n1¯ e n2¯ para a base ACB e os planos laterais ADB. Resta usar a fórmula para o ângulo φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transforme a expressão resultante e reescreva-a assim:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Obtivemos a fórmula do ângulo diedro na base de uma pirâmide quadrangular regular. Conhecendo a altura da figura e o comprimento de seu lado, você pode calcular o ângulo φ. Por exemplo, para a pirâmide de Quéops, cujo lado da base é 230,4 metros, e a altura inicial era 146,5 metros, o ângulo φ será 51,8o.
Também é possível determinar o ângulo diedro para uma pirâmide quadrangular regular usando o método geométrico. Para isso, basta considerar um triângulo retângulo formado pela altura h, metade do comprimento da base a/2 e o apótema de um triângulo isósceles.
