Um triângulo é um polígono com três lados (três cantos). Na maioria das vezes, os lados são indicados por letras minúsculas, correspondentes às letras maiúsculas que denotam vértices opostos. Neste artigo, conheceremos os tipos dessas formas geométricas, o teorema que determina qual é a soma dos ângulos de um triângulo.
Vistas por ângulos
Os seguintes tipos de polígono com três vértices são distinguidos:
- agute-angled, em que todos os cantos são afiados;
- retangular, tendo um ângulo reto, enquanto os lados que o formam são chamados de catetos, e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa;
- obtuso quando um canto é obtuso;
- isosceles, em que dois lados são iguais, e são chamados de laterais, e o terceiro é a base do triângulo;
- equilateral, tendo os três lados iguais.
Propriedades
Eles destacam as principais propriedades características de cada tipo de triângulo:
- oposto ao lado maior há sempre um ângulo maior, e vice-versa;
- lados opostos de igual tamanho são ângulos iguais e vice-versa;
- qualquer triângulo tem dois ângulos agudos;
- um canto externo é maior que qualquer canto interno não adjacente a ele;
- a soma de quaisquer dois ângulos é sempre menor que 180 graus;
- canto externo é igual à soma dos outros dois cantos que não se cruzam com ele.
Teorema da soma dos triângulos dos ângulos
O teorema afirma que se você somar todos os ângulos de uma dada figura geométrica, que está localizada no plano euclidiano, sua soma será 180 graus. Vamos tentar provar este teorema.
Vamos ter um triângulo arbitrário com vértices de KMN.
Através do vértice M desenhe uma reta paralela à reta KN (essa reta também é chamada de reta euclidiana). Marcamos o ponto A nele de tal forma que os pontos K e A estejam localizados em lados diferentes da linha reta MN. Obtemos ângulos iguais AMN e KNM, que, como os internos, são transversais e são formados pela secante MN juntamente com as retas KN e MA, que são paralelas. Disto segue-se que a soma dos ângulos do triângulo localizado nos vértices M e H é igual ao tamanho do ângulo KMA. Todos os três ângulos compõem a soma, que é igual à soma dos ângulos KMA e MKN. Como esses ângulos são internos de um lado em relação aretas paralelas KN e MA com uma secante KM, sua soma é 180 graus. Teorema provado.
Consequência
O seguinte corolário segue do teorema provado acima: qualquer triângulo tem dois ângulos agudos. Para provar isso, vamos supor que uma dada figura geométrica tenha apenas um ângulo agudo. Também pode ser assumido que nenhum dos ângulos é agudo. Nesse caso, deve haver pelo menos dois ângulos iguais ou maiores que 90 graus. Mas então a soma dos ângulos será maior que 180 graus. Mas isso não pode ser, porque de acordo com o teorema, a soma dos ângulos de um triângulo é 180 ° - nem mais nem menos. Isso é o que tinha que ser provado.
Propriedade de canto externo
Qual é a soma dos ângulos externos de um triângulo? Esta pergunta pode ser respondida de duas maneiras. A primeira é que é necessário encontrar a soma dos ângulos, que são tomados um em cada vértice, ou seja, três ângulos. A segunda implica que você precisa encontrar a soma de todos os seis ângulos nos vértices. Primeiro, vamos lidar com a primeira opção. Assim, o triângulo contém seis vértices externos - dois em cada vértice.
Cada par tem ângulos iguais porque são verticais:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Além disso, sabe-se que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos que não se interceptam com ele. Portanto, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
A partir disso, verifica-se que a soma decantos, que são tomados um em cada vértice, será igual a:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Dado que a soma dos ângulos é 180 graus, pode-se argumentar que ∟A + ∟B + ∟C=180°. E isso significa que ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Se a segunda opção for usada, a soma dos seis ângulos será, respectivamente, duas vezes maior. Ou seja, a soma dos ângulos externos do triângulo será:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Triângulo retângulo
Qual é a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo? A resposta a esta pergunta, novamente, decorre do teorema, que afirma que os ângulos em um triângulo somam 180 graus. E nossa declaração (propriedade) soa assim: em um triângulo retângulo, os ângulos agudos somam 90 graus. Vamos provar sua veracidade.
Tenhamos um triângulo KMN, no qual ∟Н=90°. É necessário provar que ∟K + ∟M=90°.
Então, de acordo com o teorema da soma dos ângulos ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Nossa condição diz que ∟Н=90°. Então, ∟K + ∟M + 90°=180°. Ou seja, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Era isso que tínhamos que provar.
Além das propriedades acima de um triângulo retângulo, você pode adicionar o seguinte:
- ângulos que ficam contra as pernas são agudos;
- a hipotenusa é mais triangular do que qualquer um dos catetos;
- a soma dos catetos é maior que a hipotenusa;
- pernaum triângulo oposto a um ângulo de 30 graus é metade da hipotenusa, ou seja, igual à metade dela.
Como outra propriedade desta figura geométrica, pode-se distinguir o teorema de Pitágoras. Ela afirma que em um triângulo com um ângulo de 90 graus (retangular), a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
A soma dos ângulos de um triângulo isósceles
Anteriormente dissemos que isósceles é um polígono com três vértices, contendo dois lados iguais. Esta propriedade de uma dada figura geométrica é conhecida: os ângulos em sua base são iguais. Vamos provar.
Pegue o triângulo KMN, que é isósceles, KN é sua base.
Devemos provar que ∟К=∟Н. Então, digamos que MA é a bissetriz do nosso triângulo KMN. O triângulo MCA, levando em consideração o primeiro sinal de igualdade, é igual ao triângulo MCA. Ou seja, por condição é dado que KM=NM, MA é um lado comum, ∟1=∟2, pois MA é uma bissetriz. Usando o fato de que esses dois triângulos são iguais, podemos afirmar que ∟K=∟Н. Então o teorema está provado.
Mas estamos interessados em qual é a soma dos ângulos de um triângulo (isósceles). Como a esse respeito não possui peculiaridades próprias, partiremos do teorema considerado anteriormente. Ou seja, podemos dizer que ∟K + ∟M + ∟H=180°, ou 2 x ∟K + ∟M=180° (já que ∟K=∟H). Não provaremos esta propriedade, pois o próprio teorema da soma do triângulo foi provado anteriormente.
Exceto conforme discutidopropriedades sobre os ângulos de um triângulo, também existem declarações importantes:
- em um triângulo isósceles, a altura que foi abaixada até a base é tanto a mediana, a bissetriz do ângulo que está entre lados iguais, quanto o eixo de simetria de sua base;
- medianas (bissetrizes, alturas) que são desenhadas para os lados de tal figura geométrica são iguais.
Triângulo equilátero
Também se chama direito, é o triângulo com todos os lados iguais. Portanto, os ângulos também são iguais. Cada um tem 60 graus. Vamos provar esta propriedade.
Assuma que temos um triângulo KMN. Sabemos que KM=NM=KN. E isso significa que, de acordo com a propriedade dos ângulos localizados na base de um triângulo isósceles, ∟К=∟М=∟Н. Como, de acordo com o teorema, a soma dos ângulos de um triângulo é ∟К + ∟М + ∟Н=180°, então 3 x ∟К=180° ou ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Assim, a afirmação está provada.
Como você pode ver na demonstração acima baseada no teorema, a soma dos ângulos de um triângulo equilátero, como a soma dos ângulos de qualquer outro triângulo, é 180 graus. Não há necessidade de provar este teorema novamente.
Existem também propriedades características de um triângulo equilátero:
- mediana, bissetriz, altura em tal figura geométrica são as mesmas, e seu comprimento é calculado como (a x √3): 2;
- se você descrever um círculo em torno de um determinado polígono, seu raio seráigual a (a x √3): 3;
- se você inscrever um círculo em um triângulo equilátero, seu raio será (a x √3): 6;
- a área dessa figura geométrica é calculada pela fórmula: (a2 x √3): 4.
Triângulo obt-angular
De acordo com a definição de um triângulo obtuso, um de seus ângulos está entre 90 e 180 graus. Mas dado que os outros dois ângulos desta figura geométrica são agudos, podemos concluir que eles não ultrapassam 90 graus. Portanto, o teorema da soma dos ângulos do triângulo funciona ao calcular a soma dos ângulos em um triângulo obtuso. Acontece que podemos dizer com segurança, com base no teorema acima mencionado, que a soma dos ângulos de um triângulo obtuso é 180 graus. Novamente, este teorema não precisa ser reprovado.
