Linha e plano são os dois elementos geométricos mais importantes que podem ser usados para construir diferentes formas no espaço 2D e 3D. Considere como encontrar a distância entre linhas paralelas e planos paralelos.
Reta de tarefa matemática
Do curso de geometria escolar sabe-se que em um sistema de coordenadas retangulares bidimensionais uma linha pode ser especificada da seguinte forma:
y=kx + b.
Onde k e b são números (parâmetros). A forma escrita de representar uma linha em um plano é um plano paralelo ao eixo z no espaço tridimensional. Em vista disso, neste artigo, para a atribuição matemática de uma linha reta, usaremos uma forma mais conveniente e universal - uma vetorial.
Assuma que nossa reta é paralela a algum vetor u¯(a, b, c) e passa pelo ponto P(x0, y0, z0). Neste caso, na forma vetorial, sua equação será representada da seguinte forma:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Aqui λ é qualquer número. Se representarmos explicitamente as coordenadas expandindo a expressão escrita, obteremos uma forma paramétrica de escrever uma linha reta.
É conveniente trabalhar com uma equação vetorial ao resolver vários problemas em que é necessário determinar a distância entre linhas paralelas.
Linhas e a distância entre elas
Faz sentido falar sobre a distância entre as linhas apenas quando elas são paralelas (no caso tridimensional, também existe uma distância diferente de zero entre as linhas oblíquas). Se as linhas se cruzam, então é óbvio que elas estão a uma distância zero uma da outra.
A distância entre linhas paralelas é o comprimento da perpendicular que as conecta. Para determinar este indicador, basta escolher um ponto arbitrário em uma das linhas e soltar uma perpendicular a outra.
Vamos descrever brevemente o procedimento para encontrar a distância desejada. Suponha que conhecemos as equações vetoriais de duas retas, que são apresentadas na seguinte forma geral:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construa um paralelogramo sobre essas linhas de modo que um dos lados seja PQ e o outro, por exemplo, u. Obviamente, a altura desta figura, desenhada a partir do ponto P, é o comprimento da perpendicular requerida. Para encontrá-lo, você pode aplicar o seguinte simplesfórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Como a distância entre linhas retas é o comprimento do segmento perpendicular entre elas, então, de acordo com a expressão escrita, basta encontrar o módulo do produto vetorial de PQ¯ e u¯ e dividir o resultado por o comprimento do vetor u¯.
Um exemplo de tarefa para determinar a distância entre linhas retas
Duas linhas retas são dadas pelas seguintes equações vetoriais:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
A partir das expressões escritas fica claro que temos duas retas paralelas. De fato, se multiplicarmos por -1 as coordenadas do vetor direcional da primeira linha, obtemos as coordenadas do vetor direcional da segunda linha, o que indica seu paralelismo.
A distância entre linhas retas será calculada usando a fórmula escrita no parágrafo anterior do artigo. Temos:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Então temos:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Observe que em vez dos pontos P e Q, absolutamente quaisquer pontos que pertençam a essas linhas podem ser usados para resolver o problema. Neste caso, obteríamos a mesma distância d.
Definindo um plano na geometria
A questão da distância entre as linhas foi discutida acima em detalhes. Agora vamos mostrar como encontrar a distância entre planos paralelos.
Todo mundo representa o que é um avião. De acordo com a definição matemática, o elemento geométrico especificado é uma coleção de pontos. Além disso, se você compor todos os vetores possíveis usando esses pontos, todos eles serão perpendiculares a um único vetor. Este último é geralmente chamado de normal ao plano.
Para especificar a equação de um plano no espaço tridimensional, a forma geral da equação é mais frequentemente usada. Fica assim:
Ax + By + Cz + D=0.
Onde letras latinas maiúsculas são alguns números. É conveniente usar este tipo de equação plana porque as coordenadas do vetor normal são explicitamente dadas nela. Eles são A, B, C.
É fácil ver que dois planos são paralelos apenas quando suas normais são paralelas.
Como encontrar a distância entre dois planos paralelos ?
Para determinar a distância especificada, você deve entender claramente o que está em jogo. A distância entre planos paralelos entre si é entendida como o comprimento do segmento perpendicular a eles. As extremidades deste segmento pertencem aos planos.
O algoritmo para resolver tais problemas é simples. Para fazer isso, você precisa encontrar as coordenadas de absolutamente qualquer ponto que pertença a um dos dois planos. Então, você deve usar esta fórmula:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Como a distância é um valor positivo, o sinal do módulo está no numerador. A fórmula escrita é universal, pois permite calcular a distância do plano a absolutamente qualquer elemento geométrico. Basta conhecer as coordenadas de um ponto deste elemento.
Por uma questão de completude, notamos que se as normais de dois planos não são paralelas entre si, então tais planos irão se cruzar. A distância entre eles será então zero.
O problema de determinar a distância entre os planos
Sabe-se que dois planos são dados pelas seguintes expressões:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
É necessário provar que os planos são paralelos e também determinar a distância entre eles.
Para responder a primeira parte do problema, você precisa trazer a primeira equação para uma forma geral. Observe que ela é dada na chamada forma de uma equação em segmentos. Multiplique suas partes esquerda e direita por 15 e mova todos os termos para um lado da equação, temos:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Vamos escrever as coordenadas de dois vetores normais dos planos:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Pode-se ver que se n2¯ for multiplicado por 5, obteremos exatamente as coordenadas n1¯. Assim, os planos considerados sãoparalelo.
Para calcular a distância entre planos paralelos, selecione um ponto arbitrário do primeiro deles e use a fórmula acima. Por exemplo, vamos pegar o ponto (0, 0, 1) que pertence ao primeiro plano. Então temos:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
A distância desejada é 31 mm.
Distância entre o plano e a reta
O conhecimento teórico proporcionado também nos permite resolver o problema de determinar a distância entre uma reta e um plano. Já foi mencionado acima que a fórmula que é válida para cálculos entre planos é universal. Ele também pode ser usado para resolver o problema. Para fazer isso, basta selecionar qualquer ponto que pertença à linha dada.
O principal problema na determinação da distância entre os elementos geométricos considerados é a prova de seu paralelismo (se não, então d=0). O paralelismo é fácil de provar se você calcular o produto escalar da normal e o vetor de direção da linha. Se os elementos em consideração forem paralelos, então este produto será igual a zero.
