Todo aluno sabe que o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma dos catetos, cada um dos quais ao quadrado. Essa afirmação é chamada de teorema de Pitágoras. É um dos teoremas mais famosos da trigonometria e da matemática em geral. Considere isso com mais detalhes.
O conceito de triângulo retângulo
Antes de prosseguir com a consideração do teorema de Pitágoras, em que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado, devemos considerar o conceito e as propriedades de um triângulo retângulo, para o qual o teorema é válido.
Triângulo é uma figura plana com três ângulos e três lados. Um triângulo retângulo, como o próprio nome indica, tem um ângulo reto, ou seja, esse ângulo é 90o.
A partir das propriedades gerais de todos os triângulos, sabe-se que a soma dos três ângulos desta figura é 180o, o que significa que para um triângulo retângulo a soma de dois ângulos que não são retos, é 180o -90o=90o. O último fato significa que qualquer ângulo em um triângulo retângulo que não seja um ângulo reto sempre será menor que 90o.
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são os catetos do triângulo, podem ser iguais entre si ou podem diferir. Sabe-se da trigonometria que quanto maior o ângulo contra o qual um lado se encontra em um triângulo, maior o comprimento desse lado. Isso significa que em um triângulo retângulo a hipotenusa (oposta ao ângulo 90o) será sempre maior do que qualquer um dos catetos (oposta aos ângulos < 90o).
Notação matemática do teorema de Pitágoras
Este teorema diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos, cada um dos quais previamente elevado ao quadrado. Para escrever essa formulação matematicamente, considere um triângulo retângulo em que os lados a, b e c são os dois catetos e a hipotenusa, respectivamente. Neste caso, o teorema, que é expresso como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, pode ser representado pela seguinte fórmula: c2=a 2 + b 2. A partir daqui, outras fórmulas importantes para a prática podem ser obtidas: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) ec=√(a2 + b2).
Observe que no caso de um triângulo equilátero retângulo, ou seja, a=b, a formulação: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos, cada um dos quaisao quadrado, matematicamente escrito como: c2=a2 + b2=2a 2, o que implica a igualdade: c=a√2.
Histórico
O teorema de Pitágoras, que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos, cada um dos quais é quadrado, era conhecido muito antes de o famoso filósofo grego prestar atenção nele. Muitos papiros do antigo Egito, bem como tabuinhas de barro dos babilônios, confirmam que esses povos usavam a notável propriedade dos lados de um triângulo retângulo. Por exemplo, uma das primeiras pirâmides egípcias, a Pirâmide de Khafre, cuja construção remonta ao século 26 aC (2000 anos antes da vida de Pitágoras), foi construída com base no conhecimento da proporção de um triângulo retângulo 3x4x5.
Por que então o teorema agora tem o nome de um grego? A resposta é simples: Pitágoras é o primeiro a provar matematicamente esse teorema. Os escritos babilônicos e egípcios sobreviventes apenas mencionam seu uso, mas não fornecem nenhuma prova matemática.
Acredita-se que Pitágoras provou o teorema em consideração usando as propriedades de triângulos semelhantes, que ele obteve desenhando uma altura em um triângulo retângulo a partir do ângulo 90o até a hipotenusa.
Um exemplo de uso do teorema de Pitágoras
Considere um problema simples: é necessário determinar o comprimento de uma escada inclinada L, se se sabe que ela tem uma altura H=3metros, e a distância da parede contra a qual a escada repousa até seu pé é P=2,5 metros.
Neste caso, H e P são os catetos e L é a hipotenusa. Como o comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, temos: L2=H2 + P 2, onde L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metros ou 3 metros e 90,5 cm.
