Triângulo é a figura mais simples fechada no plano, composta por apenas três segmentos interligados. Em problemas de geometria, muitas vezes é necessário determinar a área dessa figura. O que você precisa saber para isso? No artigo, responderemos à pergunta de como encontrar a área de um triângulo em três lados.
Fórmula geral
Todo aluno sabe que a área de um triângulo é calculada como o produto do comprimento de qualquer um de seus lados - a pela metade da altura - h, reduzido ao lado escolhido. Abaixo está a fórmula correspondente: S=ah/2.
Esta expressão pode ser usada se pelo menos dois lados e o valor do ângulo entre eles forem conhecidos. Nesse caso, a altura h é fácil de calcular usando funções trigonométricas, como o seno. Mas nem todo mundo sabe como encontrar a área de três lados de um triângulo.
Fórmula de Heron
Esta fórmula é a resposta para a questão de comotrês lados encontram a área do triângulo. Antes de escrever, vamos denotar os comprimentos dos segmentos de uma figura arbitrária como a, b e c. A fórmula de Heron é escrita da seguinte forma: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Onde p é o semiperímetro da figura, ou seja: p=(a+b+c)/2.
Apesar da aparente dificuldade, a expressão acima para a área S é fácil de lembrar. Para fazer isso, você deve primeiro calcular o semiperímetro do triângulo, depois subtrair dele por um comprimento do lado da figura, multiplicar todas as diferenças obtidas e o próprio semiperímetro. Finalmente, tire a raiz quadrada do produto.
Esta fórmula tem o nome de Heron de Alexandria, que viveu no início de nossa era. A história moderna acredita que foi esse filósofo quem primeiro aplicou essa expressão para realizar os cálculos correspondentes. Esta fórmula é publicada em sua Metrica, que remonta a 60 dC. Observe que algumas das obras de Arquimedes, que viveu dois séculos antes de Heron, contêm indícios de que o filósofo grego já conhecia a fórmula. Além disso, os antigos chineses também sabiam encontrar a área de um triângulo, conhecendo três lados.
É importante notar que o problema pode ser resolvido sem conhecer a existência da fórmula de Heron. Para fazer isso, desenhe algumas alturas no triângulo e use a fórmula geral do parágrafo anterior, compilando o sistema de equações apropriado.
A expressão de Heron pode ser usada para calcular as áreas de polígonos arbitrários, depois de dividi-los emtriângulos e calcular os comprimentos das diagonais resultantes.
Exemplo de resolução de problemas
Sabendo como encontrar a área de um triângulo em três lados, vamos consolidar nosso conhecimento resolvendo o seguinte problema. Deixe os lados da figura serem 5 cm, 4 cm e 3 cm. Encontre a área.
Três lados de um triângulo são conhecidos, então você pode usar a fórmula de Heron. Calculamos o semi-perímetro e as diferenças necessárias, temos:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Então obtemos a área: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
O triângulo dado na condição do problema é retângulo, o que é fácil de verificar se você usar o teorema de Pitágoras. Como a área de tal triângulo é metade do produto dos catetos, obtemos: S=43/2=6 cm2.
O valor resultante é o mesmo da fórmula de Heron, o que confirma a validade desta última.
