Quadrilátero inscrito em um círculo. Quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Com a divisão da matemática em álgebra e geometria, o material didático fica mais difícil. Novas figuras e seus casos especiais aparecem. Para entender bem o material, é necessário estudar os conceitos, propriedades dos objetos e teoremas relacionados.

Conceitos gerais

Um quadrilátero significa uma figura geométrica. É composto por 4 pontos. Além disso, 3 deles não estão localizados na mesma linha reta. Existem segmentos conectando os pontos especificados em série.

Todos os quadriláteros estudados no curso de geometria escolar são mostrados no diagrama a seguir. Conclusão: qualquer objeto da figura apresentada possui as propriedades da figura anterior.

Um quadrilátero pode ser dos seguintes tipos:

Paralelogramo. O paralelismo de seus lados opostos é provado pelos teoremas correspondentes.
Trapézio. Quadrilátero com bases paralelas. As outras duas partes não.
Retângulo. Uma figura que tem todos os 4 cantos=90º.
Lombo. Uma figura com todos os lados iguais.
Quadrado. Combina as propriedades das duas últimas figuras. Tem todos os lados iguais e todos os ângulos retos.

A definição principal deste tópico é um quadrilátero inscrito em um círculo. Consiste no seguinte. Esta é uma figura em torno da qual um círculo é descrito. Deve passar por todos os vértices. Os ângulos internos de um quadrilátero inscrito em um círculo somam 360º.

Nem todo quadrilátero pode ser inscrito. Isso se deve ao fato de que as mediatrizes dos 4 lados podem não se cruzar em um ponto. Isso tornará impossível encontrar o centro de um círculo circunscrevendo um 4-gon.

Casos especiais

Existem exceções para todas as regras. Então, neste tópico também existem casos especiais:

Um paralelogramo, como tal, não pode ser inscrito em um círculo. Apenas seu caso especial. É um retângulo.
Se todos os vértices de um losango estão na linha circunscrita, então é um quadrado.
Todos os vértices do trapézio estão na fronteira do círculo. Neste caso, eles falam de uma figura isósceles.

Propriedades de um quadrilátero inscrito em um círculo

Antes de resolver problemas simples e complexos sobre um determinado tópico, você precisa verificar seu conhecimento. Sem estudar o material didático, é impossível resolver um único exemplo.

Teorema 1

A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo é 180º.

Propriedades de um quadrilátero inscrito em um círculo

Prova

Dado: o quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. Seu centro é o ponto O. Precisamos provar que _<A + _<C=180º e _< B + _<D=180º.

Precisa considerar os valores apresentados.

_{<A está inscrito em um círculo centrado no ponto O. É medido através de ½ BCD (meio arco).}

_{<C está inscrito no mesmo círculo. É medido através de ½ BAD (meio arco).}
BAD e BCD formam um círculo inteiro, ou seja, sua magnitude é 360º.

_<A + _{<C são iguais a metade da soma dos semi-arcos representados.}

Daí _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

ângulos de um quadrilátero inscrito em um círculo

De maneira semelhante, a prova para _<B e _{<D. No entanto, existe uma segunda solução para o problema.}

Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

Porque _<A + _<C=180º. Assim, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(É frequentemente chamado de inverso) Se em um quadrilátero _<A + _<C=180º e _{<B +} <_{D=180º (se forem opostos), então um círculo pode ser descrito em torno de tal figura.}

Prova

A soma dos ângulos opostos do quadrilátero ABCD igual a 180º é dada. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Precisamos provar que um círculo pode ser circunscrito em torno de ABCD.}

Do curso de geometria sabe-se que um círculo pode ser desenhado por 3 pontos de um quadrilátero. Por exemplo, você pode usar os pontos A, B, C. Onde o ponto D será localizado? Existem 3 palpites:

Ela acaba dentro do círculo. Neste caso, D não toca a linha.
Fora do círculo. Ela vai muito além da linha delineada.
Acontece em um círculo.

Deve-se assumir que D está dentro do círculo. O lugar do vértice indicado é ocupado por D´. Acontece quadrilátero ABCD´.

O resultado é:_<B + _<D´=2d.

Se continuarmos AD´ até a interseção com o círculo existente centrado no ponto E e conectar E e C, obtemos um quadrilátero ABCE inscrito. Do primeiro teorema segue a igualdade:

De acordo com as leis da geometria, a expressão não é válida porque _<D´ é o canto externo do triângulo CD´E. Assim, deve ser maior que _{<E. A partir disso, podemos concluir que D deve estar no círculo ou fora dele.}

Da mesma forma, a terceira suposição pode ser provada errada quando D´´ ultrapassa o limite da figura descrita.

De duas hipóteses segue a única correta. O vértice D está localizado na linha do círculo. Em outras palavras, D coincide com E. Segue que todos os pontos do quadrilátero estão localizados na linha descrita.

Destesdois teoremas, os corolários seguem:

Qualquer retângulo pode ser inscrito em um círculo. Há outra consequência. Um círculo pode ser circunscrito em torno de qualquer retângulo

Trapézio com quadris iguais pode ser inscrito em um círculo. Em outras palavras, soa assim: um círculo pode ser descrito em torno de um trapézio com arestas iguais

Vários exemplos

Problema 1. O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Precisa encontrar _{<ABD. A resposta deve ser escrita em graus.}

Decisão. A princípio, pode parecer difícil encontrar a resposta.

1. Você precisa se lembrar das propriedades deste tópico. Ou seja: a soma dos ângulos opostos=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Em geometria, é melhor seguir o princípio: encontre tudo o que puder. Útil mais tarde.

2. Próximo passo: use o teorema da soma do triângulo.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD e _{<ACD estão inscritos. Por condição, eles contam com um arco. Assim, eles têm valores iguais:}

_<ABD=_<ACD=70º

Resposta: _<ABD=70º.

Problema 2. BCDE é um quadrilátero inscrito em um círculo. _<B=69º, _<C=84º. O centro do círculo é o ponto E. Encontre - _<E.

quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo

Decisão.

Precisa encontrar _{<E pelo Teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Resposta: _{< E=96º.}

Problema 3. Dado um quadrilátero inscrito em um círculo. Os dados são mostrados na figura. É necessário encontrar valores desconhecidos x, y, z.

Solução:

z=180º – 93º=87º (pelo Teorema 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (pelo Teorema 1)

Resposta: z=87º, x=82º, y=98º.

Problema 4. Existe um quadrilátero inscrito em um círculo. Os valores são mostrados na figura. Encontre x, y.

Solução:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Resposta: x=100º, y=109º.

Problemas para solução independente

Exemplo 1. Dado um círculo. Seu centro é o ponto O. AC e BD são diâmetros. _<ACB=38º. Precisa encontrar _{<AOD. A resposta deve ser dada em graus.}

Exemplo 2. Dado um quadrilátero ABCD e um círculo circunscrito ao seu redor. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Encontre _{<CAD. Escreva sua resposta em graus.}

Exemplo 3. Dado um círculo e um quadrilátero inscrito ABCD. Seus dois ângulos são 82º e58º. Você precisa encontrar o maior dos ângulos restantes e escrever a resposta em graus.

Exemplo 4. O quadrilátero ABCD é dado. Os ângulos A, B, C são dados na proporção 1:2:3. É necessário encontrar o ângulo D se o quadrilátero especificado puder ser inscrito em um círculo. A resposta deve ser dada em graus.

Exemplo 5. O quadrilátero ABCD é dado. Seus lados formam arcos do círculo circunscrito. Os valores dos graus AB, BC, CD e AD, respectivamente, são: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Você deve encontrar _{<Do quadrângulo dado e escrever a resposta em graus.}