Ainda no antigo Egito, surgiu a ciência, com a qual era possível medir volumes, áreas e outras quantidades. O impulso para isso foi a construção das pirâmides. Envolvia um número significativo de cálculos complexos. E além da construção, era importante medir corretamente o terreno. Daí a ciência da "geometria" surgiu das palavras gregas "geos" - terra e "metrio" - eu meço.
O estudo das formas geométricas foi facilitado pela observação de fenômenos astronômicos. E já no século 17 aC. e. os métodos iniciais para calcular a área de um círculo, o volume de uma bola foram encontrados, e a descoberta mais importante foi o teorema de Pitágoras.
A afirmação do teorema sobre um círculo inscrito em um triângulo é a seguinte:
Apenas um círculo pode ser inscrito em um triângulo.
Com este arranjo, o círculo é inscrito e o triângulo é circunscrito próximo ao círculo.
A afirmação do teorema sobre o centro de um círculo inscrito em um triângulo é a seguinte:
Ponto central de um círculo inscrito emtriângulo, existe um ponto de intersecção das bissetrizes desse triângulo.
Círculo inscrito em um triângulo isósceles
Um círculo é considerado inscrito em um triângulo se tocar todos os seus lados com pelo menos um ponto.
A foto abaixo mostra um círculo dentro de um triângulo isósceles. A condição do teorema sobre um círculo inscrito em um triângulo é atendida - ele toca todos os lados do triângulo AB, BC e CA nos pontos R, S, Q, respectivamente.
Uma das propriedades de um triângulo isósceles é que o círculo inscrito bissecta a base pelo ponto de contato (BS=SC), e o raio do círculo inscrito é um terço da altura desse triângulo (SP=AS/3).
Propriedades do teorema da circunferência do triângulo:
- Segmentos vindos de um vértice do triângulo até os pontos de contato com o círculo são iguais. Na imagem AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- O raio de um círculo (inscrito) é a área dividida pelo meio-perímetro do triângulo. Como exemplo, você precisa desenhar um triângulo isósceles com as mesmas designações de letras que na imagem, das seguintes dimensões: base BC \u003d 3 cm, altura AS \u003d 2 cm, lados AB \u003d BC, respectivamente, são obtidos de 2,5 cm cada. Traçamos uma bissetriz de cada vértice e denotamos o lugar de sua interseção como P. Inscrevemos um círculo com raio PS, cujo comprimento deve ser encontrado. Você pode descobrir a área de um triângulo multiplicando 1/2 da base pela altura: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Semiperímetrotriângulo é igual a 1/2 da soma de todos os lados: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2,5 + 3 + 2,5) / 2 \u003d 4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, o que é completamente verdadeiro quando medido com uma régua. Assim, a propriedade do teorema sobre um círculo inscrito em um triângulo é verdadeira.
Círculo inscrito em um triângulo retângulo
Para um triângulo com um ângulo reto, aplicam-se as propriedades do teorema do círculo inscrito no triângulo. E, além disso, adiciona-se a capacidade de resolver problemas com os postulados do teorema de Pitágoras.
O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo pode ser determinado da seguinte forma: some os comprimentos dos catetos, subtraia o valor da hipotenusa e divida o valor resultante por 2.
Existe uma boa fórmula que o ajudará a calcular a área de um triângulo - multiplique o perímetro pelo raio do círculo inscrito neste triângulo.
Formulação do teorema do círculo
Teoremas sobre figuras inscritas e circunscritas são importantes na planimetria. Um deles soa assim:
O centro de um círculo inscrito em um triângulo é o ponto de interseção das mediatrizes traçadas a partir de seus vértices.
A figura abaixo mostra a prova deste teorema. A igualdade dos ângulos é mostrada e, consequentemente, a igualdade dos triângulos adjacentes.
Teorema sobre o centro de um círculo inscrito em um triângulo
Os raios de um círculo inscrito em um triângulo,desenhados para os pontos tangentes são perpendiculares aos lados do triângulo.
A tarefa "formular o teorema sobre um círculo inscrito em um triângulo" não deve ser pega de surpresa, pois este é um dos conhecimentos fundamentais e mais simples em geometria que você precisa dominar completamente para resolver muitos problemas práticos em vida real.
