A estereometria, como ramo da geometria no espaço, estuda as propriedades de prismas, cilindros, cones, bolas, pirâmides e outras figuras tridimensionais. Este artigo é dedicado a uma revisão detalhada das características e propriedades de uma pirâmide hexagonal regular.
Qual pirâmide será estudada
Uma pirâmide hexagonal regular é uma figura no espaço, que é limitada por um hexágono equilátero e equiangular, e seis triângulos isósceles idênticos. Esses triângulos também podem ser equiláteros sob certas condições. Esta pirâmide é mostrada abaixo.
A mesma figura é mostrada aqui, só que em um caso está virada com a face lateral voltada para o leitor, e no outro - com a borda lateral.
Uma pirâmide hexagonal regular tem 7 faces, que foram mencionadas acima. Ele também tem 7 vértices e 12 arestas. Ao contrário dos prismas, todas as pirâmides têm um vértice especial, que é formado pela interseção dastriângulos. Para uma pirâmide regular, desempenha um papel importante, pois a perpendicular que desce até a base da figura é a altura. Além disso, a altura será indicada pela letra h.
A pirâmide mostrada é chamada de correta por dois motivos:
- na sua base há um hexágono com lados iguais a e ângulos iguais de 120o;
- A altura da pirâmide h intercepta o hexágono exatamente em seu centro (o ponto de interseção fica à mesma distância de todos os lados e de todos os vértices do hexágono).
Área de superfície
Propriedades de uma pirâmide hexagonal regular serão consideradas a partir da definição de sua área. Para fazer isso, primeiro é útil desdobrar a figura em um plano. Uma representação esquemática dele é mostrada abaixo.
Pode-se ver que a área da varredura e, portanto, toda a superfície da figura em consideração, é igual à soma das áreas de seis triângulos idênticos e um hexágono.
Para determinar a área de um hexágono S6, use a fórmula universal para um n-gon regular:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Onde a é o comprimento do lado do hexágono.
A área de um triângulo S3 do lado lateral pode ser encontrada se você souber o valor de sua altura hb:
S3=1/2hba.
Porque todos os seistriângulos são iguais entre si, então obtemos uma expressão de trabalho para determinar a área de uma pirâmide hexagonal com a base correta:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Volume da pirâmide
Assim como a área, o volume de uma pirâmide hexagonal regular é sua propriedade importante. Este volume é calculado pela fórmula geral para todas as pirâmides e cones. Vamos anotar:
V=1/3Soh.
Aqui, o símbolo So é a área da base hexagonal, ou seja, So=S 6.
Substituindo a expressão acima para S6 na fórmula para V, chegamos à igualdade final para determinar o volume de uma pirâmide hexagonal regular:
V=√3/2a2h.
Um exemplo de um problema geométrico
Em uma pirâmide hexagonal regular, a aresta lateral é duas vezes o comprimento do lado da base. Sabendo que este último é de 7 cm, é necessário calcular a área da superfície e o volume desta figura.
Como você pode imaginar, a solução deste problema envolve o uso das expressões obtidas acima para S e V. No entanto, não será possível usá-las imediatamente, pois não conhecemos o apótema e o altura de uma pirâmide hexagonal regular. Vamos calculá-los.
O apótema hb pode ser determinado considerando um triângulo retângulo construído sobre os lados b, a/2 e hb. Aqui b é o comprimento da aresta lateral. Usando a condição do problema, temos:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 cm.
A altura h da pirâmide pode ser determinada exatamente da mesma forma que um apótema, mas agora devemos considerar um triângulo de lados h, b e a, localizado dentro da pirâmide. A altura será:
h=√(b2-a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Pode-se ver que o valor calculado da altura é menor que o do apótema, o que vale para qualquer pirâmide.
Agora você pode usar expressões para volume e área:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
Assim, para determinar inequivocamente qualquer característica de uma pirâmide hexagonal regular, você precisa conhecer dois de seus parâmetros lineares.
