Prisma triangular direto. Fórmulas para volume e área de superfície. Solução de um problema geométrico

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

No ensino médio, depois de estudar as propriedades das figuras no plano, eles passam para a consideração de objetos geométricos espaciais como prismas, esferas, pirâmides, cilindros e cones. Neste artigo, daremos a descrição mais completa de um prisma triangular reto.

O que é um prisma triangular?

Vamos começar o artigo com a definição da figura, que será discutida mais adiante. Um prisma do ponto de vista da geometria é uma figura no espaço formada por dois n-gons idênticos localizados em planos paralelos, cujos mesmos ângulos são conectados por segmentos de linha reta. Esses segmentos são chamados de costelas laterais. Juntamente com os lados da base, eles formam uma superfície lateral, geralmente representada por paralelogramos.

Dois n-gons são as bases da figura. Se as bordas laterais são perpendiculares a eles, então eles falam de um prisma reto. Assim, se o número de lados n do polígono nas bases for três, então tal figura é chamada de prisma triangular.

O prisma reto triangular é mostrado acima na figura. Essa figura também é chamada de regular, pois suas bases são triângulos equiláteros. O comprimento da borda lateral da figura, indicado pela letra h na figura, é chamado de altura.

A figura mostra que um prisma de base triangular é formado por cinco faces, sendo duas triângulos equiláteros e três retângulos idênticos. Além das faces, o prisma possui seis vértices nas bases e nove arestas. Os números de elementos considerados estão relacionados entre si pelo teorema de Euler:

número de arestas=número de vértices + número de lados - 2.

Área de um prisma triangular reto

Descobrimos acima que a figura em questão é formada por cinco faces de dois tipos (dois triângulos, três retângulos). Todas essas faces formam toda a superfície do prisma. Sua área total é a área da figura. Abaixo está um desdobramento de prisma triangular, que pode ser obtido cortando primeiro duas bases da figura e depois cortando ao longo de uma borda e desdobrando a superfície lateral.

Vamos dar fórmulas para determinar a área da superfície dessa varredura. Vamos começar com as bases de um prisma triangular reto. Como eles representam triângulos, a área S_{3 de cada um deles pode ser encontrada da seguinte forma:}

S₃=1/2ah_a.

Aqui a é o lado do triângulo, h_{a é a altura abaixada do vértice do triângulo até este lado.}

Se o triângulo for equilátero (regular), então a fórmula para S_{3depende de apenas um parâmetro a. Parece:}

S₃=√3/4a^2.

Esta expressão pode ser obtida considerando um triângulo retângulo formado pelos segmentos a, a/2, h_a.

A área das bases S_o para uma figura regular é o dobro do valor de S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Quanto à área da superfície lateral S_{b, não é difícil calculá-la. Para fazer isso, basta multiplicar por três a área do retângulo ósseo formado pelos lados a e h. A fórmula correspondente é:}

S_b=3ah.

Assim, a área de um prisma regular de base triangular é encontrada pela seguinte fórmula:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Se o prisma for reto, mas irregular, então para calcular sua área, você deve adicionar separadamente as áreas dos retângulos que não são iguais entre si.

Determinando o volume de uma figura

O volume de um prisma é entendido como o espaço limitado por seus lados (faces). Calcular o volume de um prisma triangular reto é muito mais fácil do que calcular sua área de superfície. Para fazer isso, basta conhecer a área da base e a altura da figura. Como a altura h de uma figura reta é o comprimento de sua aresta lateral, e como calcular a área da base, demos no anteriorponto, resta multiplicar esses dois valores entre si para obter o volume desejado. A fórmula para isso se torna:

V=S_3h.

Observe que o produto da área de uma base pela altura dará o volume não apenas de um prisma reto, mas também de uma figura oblíqua e até de um cilindro.

Resolução de Problemas

Prismas triangulares de vidro são usados em óptica para estudar o espectro de radiação eletromagnética devido ao fenômeno de dispersão. Sabe-se que um prisma de vidro regular tem um comprimento de lado de base de 10 cm e um comprimento de aresta de 15 cm. Qual é a área de suas faces de vidro e que volume ele contém?

Para determinar a área, usaremos a fórmula escrita no artigo. Temos:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6cm^2.

Para determinar o volume V, também usamos a fórmula acima:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Apesar das arestas do prisma terem 10 cm e 15 cm de comprimento, o volume da figura é de apenas 0,65 litros (um cubo de lado 10 cm tem um volume de 1 litro).