A fórmula do volume de uma pirâmide hexagonal: um exemplo de solução de um problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Cálculo de volumes de figuras espaciais é uma das tarefas importantes da estereometria. Neste artigo, consideraremos a questão de determinar o volume de um poliedro como uma pirâmide e também forneceremos a fórmula para o volume de uma pirâmide hexagonal regular.

pirâmide hexagonal

Primeiro, vamos ver o que é a figura, que será discutida no artigo.

Tenhamos um hexágono arbitrário cujos lados não são necessariamente iguais entre si. Suponha também que escolhemos um ponto no espaço que não está no plano do hexágono. Ao conectar todos os cantos deste último com o ponto selecionado, obtemos uma pirâmide. Duas pirâmides diferentes com uma base hexagonal são mostradas na figura abaixo.

Pode-se ver que além do hexágono, a figura é composta por seis triângulos, cujo ponto de conexão é chamado de vértice. A diferença entre as pirâmides representadas é que a altura h da direita delas não intercepta a base hexagonal em seu centro geométrico, e a altura da figura da esquerda caibem naquele centro. Graças a esse critério, a pirâmide esquerda foi chamada de reta e a direita - oblíqua.

Como a base da figura da esquerda na figura é formada por um hexágono com lados e ângulos iguais, ela é chamada de correta. Mais adiante no artigo falaremos apenas sobre esta pirâmide.

Volume da pirâmide hexagonal

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a seguinte fórmula é válida:

V=1/3hS_o

Aqui h é o comprimento da altura da figura, S_{o é a área de sua base. Vamos usar esta expressão para determinar o volume de uma pirâmide hexagonal regular.}

Como a figura em consideração é baseada em um hexágono equilátero, para calcular sua área, você pode usar a seguinte expressão geral para um n-gon:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Aqui n é um número inteiro igual ao número de lados (cantos) do polígono, a é o comprimento de seu lado, a função cotangente é calculada usando as tabelas apropriadas.

Aplicando a expressão para n=6, temos:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Agora resta substituir esta expressão na fórmula geral para o volume V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Assim, para calcular o volume da pirâmide considerada, é necessário conhecer seus dois parâmetros lineares: o comprimento do lado da base e a altura da figura.

Exemplo de resolução de problemas

Vamos mostrar como a expressão obtida para V_{6 pode ser usada para resolver o seguinte problema.}

Sabe-se que o volume de uma pirâmide hexagonal regular é 100 cm3. É necessário determinar o lado da base e a altura da figura, caso se saiba que se relacionam pela seguinte igualdade:

a=2h

Como apenas a e h estão incluídos na fórmula do volume, qualquer um desses parâmetros pode ser substituído nela, expresso em termos do outro. Por exemplo, substituindo a, obtemos:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Para encontrar o valor da altura de uma figura, você precisa tirar a raiz do terceiro grau do volume, que corresponde à dimensão do comprimento. Substituímos o valor do volume V_{6da pirâmide do enunciado do problema, obtemos a altura:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Como o lado da base, de acordo com a condição do problema, é o dobro do valor encontrado, obtemos o valor para ele:

a=2h=23, 0676=6, 1352cm

O volume de uma pirâmide hexagonal pode ser encontrado não apenas pela altura da figura e pelo valor do lado de sua base. Basta conhecer dois parâmetros lineares diferentes da pirâmide para calculá-la, por exemplo, o apotema e o comprimento da aresta lateral.