A área da superfície lateral e o volume de uma pirâmide truncada: fórmulas e um exemplo de solução de um problema típico

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Ao estudar as propriedades das figuras no espaço tridimensional no âmbito da estereometria, muitas vezes é preciso resolver problemas para determinar o volume e a área da superfície. Neste artigo, mostraremos como calcular o volume e a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada usando fórmulas conhecidas.

Pirâmide na geometria

Em geometria, uma pirâmide comum é uma figura no espaço, que é construída sobre algum n-gon plano. Todos os seus vértices estão conectados a um ponto localizado fora do plano do polígono. Por exemplo, aqui está uma foto mostrando uma pirâmide pentagonal.

Esta figura é formada por faces, vértices e arestas. A face pentagonal é chamada de base. As faces triangulares restantes formam a superfície lateral. O ponto de interseção de todos os triângulos é o vértice principal da pirâmide. Se uma perpendicular for baixada dela até a base, duas opções para a posição do ponto de interseção são possíveis:

• no centro geométrico, então a pirâmide é chamada de linha reta;
• não emcentro geométrico, então a figura será oblíqua.

Depois consideraremos apenas figuras retas com base n-gonal regular.

O que é esta figura - uma pirâmide truncada?

Para determinar o volume de uma pirâmide truncada, é necessário entender claramente qual figura está especificamente em questão. Vamos esclarecer esta questão.

Suponha que peguemos um plano de corte paralelo à base de uma pirâmide comum e cortemos uma parte da superfície lateral com ele. Se esta operação for feita com a pirâmide pentagonal mostrada acima, você obterá uma figura como na figura abaixo.

Pela foto pode-se ver que esta pirâmide já tem duas bases, sendo que a de cima é parecida com a de baixo, mas é menor em tamanho. A superfície lateral não é mais representada por triângulos, mas por trapézios. São isósceles e seu número corresponde ao número de lados da base. A figura truncada não possui vértice principal, como uma pirâmide regular, e sua altura é determinada pela distância entre bases paralelas.

No caso geral, se a figura em consideração for formada por n-bases gonais, ela possui n+2 faces ou lados, 2n vértices e 3n arestas. Ou seja, a pirâmide truncada é um poliedro.

Fórmula para o volume de uma pirâmide truncada

Lembre-se que o volume de uma pirâmide comum é 1/3 do produto de sua altura pela área da base. Esta fórmula não é adequada para uma pirâmide truncada, pois possui duas bases. E seu volumeserá sempre menor que o mesmo valor para a figura regular da qual é derivado.

Sem entrar nos detalhes matemáticos da obtenção da expressão, apresentamos a fórmula final para o volume de uma pirâmide truncada. Está escrito da seguinte forma:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Aqui S₁ e S_{2 são as áreas das bases inferior e superior, respectivamente, h é a altura da figura. A expressão escrita é válida não apenas para uma pirâmide truncada regular reta, mas também para qualquer figura desta classe. Além disso, independentemente do tipo de polígonos de base. A única condição que limita o uso da expressão para V é a necessidade de as bases da pirâmide serem paralelas entre si.}

Várias conclusões importantes podem ser tiradas estudando as propriedades desta fórmula. Portanto, se a área da base superior for zero, chegamos à fórmula para V de uma pirâmide comum. Se as áreas das bases são iguais entre si, obtemos a fórmula para o volume do prisma.

Como determinar a área da superfície lateral?

Conhecer as características de uma pirâmide truncada requer não apenas a capacidade de calcular seu volume, mas também saber determinar a área da superfície lateral.

Pirâmide truncada consiste em dois tipos de faces:

• trapézios isósceles;
• bases poligonais.

Se houver um polígono regular nas bases, então o cálculo de sua área não representa grandesdificuldades. Para fazer isso, você só precisa saber o comprimento do lado a e seu número n.

No caso de uma superfície lateral, o cálculo de sua área envolve a determinação desse valor para cada um dos n trapézios. Se o n-gon estiver correto, então a fórmula para a área de superfície lateral se torna:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Aqui h_b é a altura do trapézio, que é chamado de apotema da figura. As quantidades a₁ e a_{2são os comprimentos dos lados de bases n-gonais regulares.}

Para toda pirâmide truncada n-gonal regular, o apotema h_b pode ser definido exclusivamente através dos parâmetros a₁ e a _{2e a altura h da forma.}

A tarefa de calcular o volume e a área de uma figura

Dada uma pirâmide truncada triangular regular. Sabe-se que sua altura h é 10 cm, e os comprimentos dos lados das bases são 5 cm e 3 cm. Qual é o volume da pirâmide truncada e a área de sua superfície lateral?

Primeiro, vamos calcular o valor V. Para fazer isso, encontre as áreas dos triângulos equiláteros localizados nas bases da figura. Temos:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Substitua os dados na fórmula para V, obtemos o volume desejado:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Para determinar a superfície lateral, você deve sabercomprimento do apótema h_{b. Considerando o triângulo retângulo correspondente dentro da pirâmide, podemos escrever a igualdade para ele:}

h_b=√((√3/6(a₁-a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

O valor do apótema e os lados das bases triangulares são substituídos na expressão para S_{b e obtemos a resposta:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Assim, respondemos a todas as questões do problema: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.