Ao considerar figuras no espaço, muitas vezes surgem problemas na determinação de sua área de superfície. Uma dessas figuras é o cone. Considere no artigo qual é a superfície lateral de um cone com uma base redonda, bem como um cone truncado.
Cone com base redonda
Antes de prosseguir com a consideração da superfície lateral do cone, mostraremos que tipo de figura é e como obtê-la usando métodos geométricos.
Tome um triângulo retângulo ABC, onde AB e AC são catetos. Vamos colocar este triângulo na perna AC e girá-lo em torno da perna AB. Como resultado, os lados AC e BC descrevem duas superfícies da figura mostrada abaixo.
A figura obtida por rotação é chamada de cone reto redondo. É redondo porque sua base é um círculo, e reto porque uma perpendicular traçada a partir do topo da figura (ponto B) intercepta o círculo em seu centro. O comprimento desta perpendicular é chamado de altura. Obviamente, é igual à perna AB. A altura geralmente é indicada pela letra h.
Além da altura, o cone considerado é descrito por mais duas características lineares:
- gerando, ou geratriz (hipotenusa BC);
- raio da base (perna AC).
O raio será denotado pela letra r, e a matriz geradora por g. Então, levando em conta o teorema de Pitágoras, podemos escrever a igualdade importante para a figura em consideração:
g2=h2+ r2
Superfície cônica
A totalidade de todas as geratrizes forma uma superfície cônica ou lateral de um cone. Na aparência, é difícil dizer a qual figura plana corresponde. Este último é importante saber ao determinar a área de uma superfície cônica. Para resolver este problema, o método de varredura é usado. Consiste no seguinte: uma superfície é cortada mentalmente ao longo de uma geratriz arbitrária e, em seguida, é desdobrada em um plano. Com este método de obtenção de uma varredura, a seguinte figura plana é formada.
Como você pode imaginar, o círculo corresponde à base, mas o setor circular é uma superfície cônica, cuja área nos interessa. O setor é delimitado por duas geratrizes e um arco. O comprimento deste último é exatamente igual ao perímetro (comprimento) da circunferência da base. Essas características determinam de forma única todas as propriedades do setor circular. Não daremos cálculos matemáticos intermediários, mas imediatamente anote a fórmula final, usando a qual você pode calcular a área da superfície lateral do cone. A fórmula é:
Sb=pigr
A área de uma superfície cônica Sbé igual ao produto de dois parâmetros e Pi.
Cone truncado e sua superfície
Se pegarmos um cone comum e cortarmos seu topo com um plano paralelo, a figura restante será um cone truncado. Sua superfície lateral é limitada por duas bases redondas. Vamos denotar seus raios como R e r. Denotamos a altura da figura por h, e a geratriz por g. Abaixo está um recorte de papel para esta figura.
Pode-se observar que a superfície lateral não é mais um setor circular, é menor em área, pois a parte central foi cortada dela. O desenvolvimento é limitado a quatro linhas, duas delas são segmentos-geradores de retas, as outras duas são arcos com os comprimentos dos círculos correspondentes das bases do cone truncado.
Superfície lateral Sbcalculada da seguinte forma:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, raios e altura estão relacionados pela seguinte igualdade:
g2=h2+ (R - r)2
O problema com a igualdade das áreas das figuras
Dado um cone de 20 cm de altura e raio da base de 8 cm, é necessário encontrar a altura de um cone truncado cuja superfície lateral terá a mesma área desse cone. A figura truncada é construída na mesma base e o raio da base superior é de 3 cm.
Primeiramente, vamos escrever a condição de igualdade das áreas do cone e da figura truncada. Temos:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Agora vamos escrever as expressões para as geratrizes de cada forma:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Substitua g1 e g2 na fórmula para áreas iguais e quadrado os lados esquerdo e direito, temos:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Onde obtemos a expressão para h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Não vamos simplificar esta igualdade, mas simplesmente substituir os dados conhecidos da condição:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Assim, para igualar as áreas das superfícies laterais das figuras, o cone truncado deve ter os parâmetros: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
