Superfície lateral de um cone regular e truncado. Fórmulas e um exemplo de solução do problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Ao considerar figuras no espaço, muitas vezes surgem problemas na determinação de sua área de superfície. Uma dessas figuras é o cone. Considere no artigo qual é a superfície lateral de um cone com uma base redonda, bem como um cone truncado.

Cone com base redonda

Antes de prosseguir com a consideração da superfície lateral do cone, mostraremos que tipo de figura é e como obtê-la usando métodos geométricos.

Tome um triângulo retângulo ABC, onde AB e AC são catetos. Vamos colocar este triângulo na perna AC e girá-lo em torno da perna AB. Como resultado, os lados AC e BC descrevem duas superfícies da figura mostrada abaixo.

A figura obtida por rotação é chamada de cone reto redondo. É redondo porque sua base é um círculo, e reto porque uma perpendicular traçada a partir do topo da figura (ponto B) intercepta o círculo em seu centro. O comprimento desta perpendicular é chamado de altura. Obviamente, é igual à perna AB. A altura geralmente é indicada pela letra h.

Além da altura, o cone considerado é descrito por mais duas características lineares:

• gerando, ou geratriz (hipotenusa BC);
• raio da base (perna AC).

O raio será denotado pela letra r, e a matriz geradora por g. Então, levando em conta o teorema de Pitágoras, podemos escrever a igualdade importante para a figura em consideração:

g²=h²+ r²

Superfície cônica

A totalidade de todas as geratrizes forma uma superfície cônica ou lateral de um cone. Na aparência, é difícil dizer a qual figura plana corresponde. Este último é importante saber ao determinar a área de uma superfície cônica. Para resolver este problema, o método de varredura é usado. Consiste no seguinte: uma superfície é cortada mentalmente ao longo de uma geratriz arbitrária e, em seguida, é desdobrada em um plano. Com este método de obtenção de uma varredura, a seguinte figura plana é formada.

Como você pode imaginar, o círculo corresponde à base, mas o setor circular é uma superfície cônica, cuja área nos interessa. O setor é delimitado por duas geratrizes e um arco. O comprimento deste último é exatamente igual ao perímetro (comprimento) da circunferência da base. Essas características determinam de forma única todas as propriedades do setor circular. Não daremos cálculos matemáticos intermediários, mas imediatamente anote a fórmula final, usando a qual você pode calcular a área da superfície lateral do cone. A fórmula é:

S_b=pigr

A área de uma superfície cônica S_bé igual ao produto de dois parâmetros e Pi.

Cone truncado e sua superfície

Se pegarmos um cone comum e cortarmos seu topo com um plano paralelo, a figura restante será um cone truncado. Sua superfície lateral é limitada por duas bases redondas. Vamos denotar seus raios como R e r. Denotamos a altura da figura por h, e a geratriz por g. Abaixo está um recorte de papel para esta figura.

Pode-se observar que a superfície lateral não é mais um setor circular, é menor em área, pois a parte central foi cortada dela. O desenvolvimento é limitado a quatro linhas, duas delas são segmentos-geradores de retas, as outras duas são arcos com os comprimentos dos círculos correspondentes das bases do cone truncado.

Superfície lateral S_bcalculada da seguinte forma:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, raios e altura estão relacionados pela seguinte igualdade:

g²=h²+ (R - r)²

O problema com a igualdade das áreas das figuras

Dado um cone de 20 cm de altura e raio da base de 8 cm, é necessário encontrar a altura de um cone truncado cuja superfície lateral terá a mesma área desse cone. A figura truncada é construída na mesma base e o raio da base superior é de 3 cm.

Primeiramente, vamos escrever a condição de igualdade das áreas do cone e da figura truncada. Temos:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Agora vamos escrever as expressões para as geratrizes de cada forma:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Substitua g₁ e g₂ na fórmula para áreas iguais e quadrado os lados esquerdo e direito, temos:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Onde obtemos a expressão para h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Não vamos simplificar esta igualdade, mas simplesmente substituir os dados conhecidos da condição:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Assim, para igualar as áreas das superfícies laterais das figuras, o cone truncado deve ter os parâmetros: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.