O prisma pentagonal na resolução de problemas de geometria é muito menos comum do que prismas como triangular, quadrangular ou hexagonal. No entanto, é útil revisar as propriedades básicas dessa forma, bem como aprender como ela pode ser desenhada.
O que é um prisma pentagonal?
Esta é uma figura tridimensional, cujas bases são pentágonos e os lados são paralelogramos. Se cada um desses paralelogramos é perpendicular às bases paralelas, esse prisma é chamado de retangular. A superfície lateral de um prisma pentagonal retangular é composta por cinco retângulos. Além disso, o lado adjacente à base de cada um deles é igual ao comprimento correspondente do lado do pentágono.
Se o pentágono é regular, isto é, todos os seus lados e ângulos são iguais entre si, então tal prisma retangular é chamado de regular. Mais adiante no artigo, consideraremos as propriedades desta figura em particular.
Elementos Prisma
Para ela, como para qualquer prisma,os seguintes elementos são característicos:
- faces ou lados são partes de planos que limitam uma figura no espaço;
- tops - pontos de interseção de três lados;
- costelas - segmentos da interseção de dois lados da figura.
Os números de todos os elementos nomeados estão relacionados entre si pela seguinte igualdade:
Número de arestas=número de vértices + número de faces - 2
Esta expressão é chamada de fórmula de Euler para o poliedro.
Em um prisma pentagonal, o número de lados é sete (duas bases + cinco retângulos). O número de picos é 10 (cinco para cada base). O número de arestas neste caso será:
Número de costelas=10 + 7 - 2=15
Dez arestas pertencem às bases do prisma e cinco arestas são formadas por retângulos.
Como desenhar um prisma pentagonal?
A resposta a esta pergunta depende da tarefa específica. Se for necessário desenhar um prisma arbitrário, qualquer pentágono deve ser desenhado. Depois disso, desenhe cinco segmentos paralelos de igual comprimento de cada vértice do pentágono. Em seguida, conecte as extremidades superiores dos segmentos. O resultado é um prisma arbitrário pentagonal.
Se for necessário desenhar um prisma regular, então toda a complexidade da tarefa se resume a obter um pentágono regular. Existem várias maneiras de desenhar este polígono. Aqui vamos considerar apenas duas maneiras.
A primeira maneira é desenhar um círculo com um compasso. Então um diâmetro arbitrário é desenhadocírculo e cinco ângulos são contados a partir dele usando um transferidor em 72o(572o=360o). Ao contar cada ângulo, um entalhe é feito no círculo. Para construir um retângulo, resta conectar os entalhes marcados com segmentos retos.
O segundo método envolve usar apenas um compasso e uma régua. É um pouco complexo em comparação com o anterior. Abaixo está um vídeo que explica em detalhes cada etapa desta compilação.
Observe que é fácil desenhar um pentágono se você conectar as extremidades da estrela. Se não for necessário desenhar um pentágono exatamente regular, você pode usar o método da estrela desenhada à mão.
Assim que o pentágono é desenhado, é necessário desenhar cinco segmentos paralelos idênticos de cada um de seus vértices e conectar seus vértices. O resultado é um prisma pentagonal.
Área da forma
Agora considere como encontrar a área de um prisma pentagonal. A figura abaixo mostra o seu desenvolvimento. Pode-se observar que a área requerida é formada por dois pentágonos idênticos e cinco retângulos iguais entre si.
A área de toda a superfície da figura é expressa pela fórmula:
S=2So+ 5Sp
Aqui os índices o e p significam a base e o retângulo, respectivamente. Vamos denotar o comprimento do lado do pentágono como a, e a altura da figura como h. Então para o retângulo escrevemos:
Sp=ah
Para calcular a área de um pentágono,use a fórmula universal:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Onde n é o número de lados do polígono. Substituindo n=5, temos:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
A precisão da igualdade resultante é de 3 casas decimais, o que é suficiente para resolver qualquer problema.
Agora resta encontrar a soma das áreas obtidas da base e da superfície lateral. Temos:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Lembre-se que a fórmula resultante é válida apenas para um prisma retangular. No caso de uma figura oblíqua, a área de sua superfície lateral é encontrada com base no conhecimento do perímetro do corte, que deve ser perpendicular a todos os paralelogramos.
O volume da figura
A fórmula para calcular o volume de um prisma pentagonal não é diferente de uma expressão similar para qualquer outro prisma ou cilindro. O volume de uma figura é igual ao produto de sua altura pela área da base:
V=Soh
Se o prisma em questão for retangular, então sua altura é o comprimento da aresta formada pelos retângulos. A área de um pentágono regular foi calculada acima com alta precisão. Substitua esse valor na fórmula do volume e obtenha a expressão necessária para um prisma pentagonal regular:
V=1, 72a2h
Assim, calculando volume e área de superfícieum prisma regular pentagonal é possível se o lado da base e a altura da figura forem conhecidos.
