O progresso da humanidade se deve em grande parte às descobertas feitas por gênios. Um deles é Blaise Pascal. Sua biografia criativa mais uma vez confirma a veracidade da expressão de Lion Feuchtwanger "Uma pessoa talentosa, talentosa em tudo". Todas as realizações científicas deste grande cientista são difíceis de contar. Entre eles está uma das invenções mais elegantes do mundo da matemática - o triângulo de Pascal.
Algumas palavras sobre gênio
Blaise Pascal morreu cedo para os padrões modernos, aos 39 anos. No entanto, em sua curta vida, ele se destacou como um notável físico, matemático, filósofo e escritor. Descendentes agradecidos nomearam a unidade de pressão e a popular linguagem de programação Pascal em sua homenagem. Ele tem sido usado por quase 60 anos para ensinar como escrever vários códigos. Por exemplo, com sua ajuda, cada aluno pode escrever um programa para calcular a área de um triângulo em Pascal, bem como explorar as propriedades do circuito, cerca deque será discutido abaixo.
A atividade deste cientista com pensamento extraordinário abrange uma ampla variedade de campos da ciência. Em particular, Blaise Pascal é um dos fundadores da hidrostática, da análise matemática, de algumas áreas da geometria e da teoria das probabilidades. Além disso, ele:
- criou uma calculadora mecânica conhecida como roda Pascal;
- forneceu evidências experimentais de que o ar tem elasticidade e peso;
- estabeleceu que um barômetro pode ser usado para prever o tempo;
- inventou o carrinho de mão;
- inventou o ônibus - carruagens puxadas por cavalos com rotas fixas, que mais tarde se tornaram o primeiro tipo de transporte público regular, etc.
Triângulo Aritmético de Pascal
Como já mencionado, este grande cientista francês fez uma enorme contribuição para a ciência matemática. Uma de suas obras-primas científicas absolutas é o "Tratado sobre o Triângulo Aritmético", que consiste em coeficientes binomiais dispostos em uma determinada ordem. As propriedades deste esquema são impressionantes em sua diversidade, e ele próprio confirma o provérbio "Tudo engenhoso é simples!".
Um pouco de história
Para ser justo, é preciso dizer que, de fato, o triângulo de Pascal era conhecido na Europa já no início do século XVI. Em particular, sua imagem pode ser vista na capa de um livro de aritmética do famoso astrônomo Peter Apian da Universidade de Ingolstadt. Um triângulo semelhante também é mostrado como ilustração.em um livro do matemático chinês Yang Hui, publicado em 1303. O notável poeta e filósofo persa Omar Khayyam também estava ciente de suas propriedades no início do século XII. Além disso, acredita-se que ele o conheceu a partir dos tratados de cientistas árabes e indianos escritos anteriormente.
Descrição
Antes de explorar as propriedades mais interessantes do triângulo de Pascal, belo em sua perfeição e simplicidade, vale a pena saber o que é.
Cientificamente falando, esse esquema numérico é uma tabela triangular sem fim formada a partir de coeficientes binomiais dispostos em uma determinada ordem. Na parte superior e nas laterais estão os números 1. As demais posições são ocupadas por números iguais à soma dos dois números localizados acima deles, um ao lado do outro. Além disso, todas as linhas do triângulo de Pascal são simétricas em relação ao seu eixo vertical.
Funções Básicas
O triângulo de Pascal atinge com sua perfeição. Para qualquer linha numerada n (n=0, 1, 2…) true:
- primeiro e último números são 1;
- segundo e penúltimo - n;
- o terceiro número é igual ao número triangular (o número de círculos que podem ser dispostos em um triângulo equilátero, ou seja, 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- O quarto número é tetraédrico, ou seja, é uma pirâmide com um triângulo na base.
Além disso, relativamente recentemente, em 1972, outra propriedade do triângulo de Pascal foi estabelecida. Para elepara descobrir, você precisa escrever os elementos deste esquema na forma de uma tabela com um deslocamento de linha em 2 posições. Em seguida, observe os números divisíveis pelo número da linha. Acontece que o número da coluna em que todos os números estão destacados é um número primo.
O mesmo truque pode ser feito de outra maneira. Para fazer isso, no triângulo de Pascal, os números são substituídos pelos restos de sua divisão pelo número da linha na tabela. Em seguida, as linhas são organizadas no triângulo resultante para que o próximo comece 2 colunas à direita do primeiro elemento do anterior. Então as colunas com números primos consistirão apenas em zeros, e aquelas com números compostos conterão pelo menos um zero.
Conexão com o binômio de Newton
Como você sabe, este é o nome da fórmula para a expansão em termos de uma potência inteira não negativa da soma de duas variáveis, que se parece com:
Os coeficientes presentes neles são iguais a C m =n! / (m! (n - m)!), onde m é o número ordinal na linha n do triângulo de Pascal. Em outras palavras, tendo esta tabela em mãos, você pode facilmente elevar qualquer número a uma potência, decompondo-os previamente em dois termos.
Assim, o triângulo de Pascal e o binômio de Newton estão intimamente relacionados.
Maravilhas da Matemática
Um exame cuidadoso do triângulo de Pascal revela que:
- a soma de todos os números na linha comnúmero de série n (contando de 0) é 2;
- se as linhas estiverem alinhadas à esquerda, então as somas dos números que estão localizados ao longo das diagonais do triângulo de Pascal, indo de baixo para cima e da esquerda para a direita, são iguais aos números de Fibonacci;
- a primeira "diagonal" consiste em números naturais em ordem;
- qualquer elemento do triângulo de Pascal, reduzido por um, é igual à soma de todos os números localizados dentro do paralelogramo, que é limitado pelas diagonais esquerda e direita que se cruzam neste número;
- em cada linha do diagrama, a soma dos números em lugares pares é igual à soma dos elementos em lugares ímpares.
Triângulo de Sierpinski
Um esquema matemático tão interessante, bastante promissor em termos de resolução de problemas complexos, é obtido colorindo os números pares da imagem Pascal em uma cor e os números ímpares em outra.
O triângulo de Sierpinski pode ser construído de outra forma:
- no esquema Pascal sombreado, o triângulo do meio é repintado em uma cor diferente, que é formada pela conexão dos pontos médios dos lados do original;
- faça exatamente o mesmo com três não pintadas localizadas nos cantos;
- se o procedimento continuar indefinidamente, o resultado deve ser uma figura de duas cores.
A propriedade mais interessante do triângulo de Sierpinski é sua auto-semelhança, pois consiste em 3 de suas cópias, que são reduzidas em 2 vezes. Permite-nos atribuir este esquema a curvas fractais, e elas, como mostram as últimasa pesquisa é mais adequada para modelagem matemática de nuvens, plantas, deltas de rios e o próprio universo.
Várias tarefas interessantes
Onde é usado o triângulo de Pascal? Exemplos de tarefas que podem ser resolvidas com sua ajuda são bastante diversas e pertencem a vários campos da ciência. Vamos dar uma olhada em alguns dos mais interessantes.
Problema 1. Alguma cidade grande cercada por uma muralha de fortaleza tem apenas um portão de entrada. No primeiro cruzamento, a estrada principal se divide em duas. O mesmo acontece em qualquer outro. 210 pessoas entram na cidade. Em cada uma das interseções que eles se encontram, eles são divididos ao meio. Quantas pessoas serão encontradas em cada cruzamento quando não for mais possível compartilhar. A resposta dela é a linha 10 do triângulo de Pascal (a fórmula do coeficiente é apresentada acima), onde os números 210 estão localizados em ambos os lados do eixo vertical.
Tarefa 2. Existem 7 nomes de cores. Você precisa fazer um buquê de 3 flores. É necessário descobrir de quantas maneiras diferentes isso pode ser feito. Este problema é do campo da combinatória. Para resolvê-lo, usamos novamente o triângulo de Pascal e pegamos na 7ª linha na terceira posição (numerando em ambos os casos a partir de 0) o número 35.
Agora você sabe o que o grande filósofo e cientista francês Blaise Pascal inventou. Seu famoso triângulo, quando usado corretamente, pode se tornar um verdadeiro salva-vidas para resolver muitos problemas, principalmente do campocombinatória. Além disso, pode ser usado para resolver inúmeros mistérios relacionados a fractais.
