Matrizes (tabelas com elementos numéricos) podem ser usadas para vários cálculos. Alguns deles são multiplicação por um número, um vetor, outra matriz, várias matrizes. O produto às vezes está incorreto. Um resultado errôneo é o resultado do desconhecimento das regras para realizar ações computacionais. Vamos descobrir como fazer a multiplicação.
Matriz e número
Vamos começar com a coisa mais simples - multiplicar uma tabela com números por um valor específico. Por exemplo, temos uma matriz A com os elementos aij (i são os números das linhas ej são os números das colunas) e o número e. O produto da matriz pelo número e será a matriz B com os elementos bij, que são encontrados pela fórmula:
bij=e × aij.
T. e. para obter o elemento b11 você precisa pegar o elemento a11 e multiplicá-lo pelo número desejado, para obter b12 é necessário encontrar o produto do elemento a12 e o número e, etc.
Vamos resolver o problema número 1 apresentado na figura. Para obter a matriz B, basta multiplicar os elementos de A por 3:
- a11 × 3=18. Escrevemos esse valor na matriz B no local onde a coluna nº 1 e a linha nº 1 se cruzam.
- a21 × 3=15. Temos o elemento b21.
- a12 × 3=-6. Recebemos o elemento b12. Nós o escrevemos na matriz B no local onde a coluna 2 e a linha 1 se cruzam.
- a22 × 3=9. Este resultado é o elemento b22.
- a13 × 3=12. Digite este número na matriz no lugar do elemento b13.
- a23 × 3=-3. O último número recebido é o elemento b23.
Assim, temos um array retangular com elementos numéricos.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vetores e a condição de existência de um produto de matrizes
Nas disciplinas matemáticas, existe algo como um "vetor". Este termo se refere a um conjunto ordenado de valores de a1 a a . Elas são chamadas de coordenadas do espaço vetorial e são escritas como uma coluna. Existe também o termo "vetor transposto". Seus componentes são organizados como uma string.
Vetores podem ser chamados de matrizes:
- vetor de coluna é uma matriz construída a partir de uma coluna;
- vetor linha é uma matriz que inclui apenas uma linha.
Quando terminarsobre matrizes de operações de multiplicação, é importante lembrar que existe uma condição para a existência de um produto. A ação computacional A × B só pode ser realizada quando o número de colunas da tabela A for igual ao número de linhas da tabela B. A matriz resultante do cálculo sempre tem o número de linhas da tabela A e o número de colunas na tabela B.
Na multiplicação, não é recomendado rearranjar matrizes (multiplicadores). Seu produto geralmente não corresponde à lei comutativa (deslocamento) da multiplicação, ou seja, o resultado da operação A × B não é igual ao resultado da operação B × A. Esse recurso é chamado de não comutatividade do produto de matrizes. Em alguns casos, o resultado da multiplicação A × B é igual ao resultado da multiplicação B × A, ou seja, o produto é comutativo. Matrizes para as quais a igualdade A × B=B × A vale são chamadas de matrizes de permutação. Veja exemplos de tais tabelas abaixo.
Multiplicação por um vetor coluna
Ao multiplicar uma matriz por um vetor coluna, devemos levar em conta a condição de existência do produto. O número de colunas (n) da tabela deve corresponder ao número de coordenadas que compõem o vetor. O resultado do cálculo é o vetor transformado. Seu número de coordenadas é igual ao número de linhas (m) da tabela.
Como são calculadas as coordenadas do vetor y se existe uma matriz A e um vetor x? Para cálculos fórmulas criadas:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
onde x1, …, x são coordenadas do vetor x, m é o número de linhas na matriz e o número de coordenadas no novo vetor y, n é o número de colunas na matriz e o número de coordenadas no vetor x, a11, a12, …, amn– elementos da matriz A.
Assim, para obter a i-ésima componente do novo vetor, é realizado o produto escalar. O i-ésimo vetor linha é obtido da matriz A e é multiplicado pelo vetor disponível x.
Vamos resolver o problema 2. Você pode encontrar o produto de uma matriz e um vetor porque A tem 3 colunas e x consiste em 3 coordenadas. Como resultado, devemos obter um vetor coluna com 4 coordenadas. Vamos usar as fórmulas acima:
- Compute y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). O valor final é 2.
- Compute y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Ao calcular, obtemos 0.
- Compute y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). A soma dos produtos dos fatores indicados é 6.
- Compute y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). A coordenada é -8.
Multiplicação vetor-matriz de linhas
Você não pode multiplicar uma matriz com várias colunas por um vetor linha. Nesses casos, a condição para a existência da obra não é satisfeita. Mas a multiplicação de um vetor linha por uma matriz é possível. Essea operação computacional é executada quando o número de coordenadas no vetor e o número de linhas na tabela coincidem. O resultado do produto de um vetor e uma matriz é um novo vetor linha. Seu número de coordenadas deve ser igual ao número de colunas na matriz.
Calcular a primeira coordenada de um novo vetor envolve multiplicar o vetor linha e o primeiro vetor coluna da tabela. A segunda coordenada é calculada de maneira semelhante, mas em vez do vetor da primeira coluna, o vetor da segunda coluna é obtido. Aqui está a fórmula geral para calcular as coordenadas:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, onde yk é uma coordenada do vetor y, (k está entre 1 e n), m é o número de linhas na matriz e o número de coordenadas no vetor x, n é o número de colunas na matriz e o número de coordenadas no vetor y, a com índices alfanuméricos são os elementos da matriz A.
Produto de matrizes retangulares
Este cálculo pode parecer complicado. No entanto, a multiplicação é feita facilmente. Vamos começar com uma definição. O produto de uma matriz A com m linhas e n colunas e uma matriz B com n linhas e p colunas é uma matriz C com m linhas e p colunas, na qual o elemento cij é o soma dos produtos dos elementos i-ésima linha da tabela A e j-ésima coluna da tabela B. Em termos mais simples, o elemento cij é o produto escalar da i-ésima linha vetor da tabela A e o vetor da j-ésima coluna da tabela B.
Agora vamos descobrir na prática como encontrar o produto de matrizes retangulares. Vamos resolver o problema nº 3. A condição para a existência de um produto está satisfeita. Vamos começar a calcular os elementos cij:
- Matriz C terá 2 linhas e 3 colunas.
- Calcule o elemento c11. Para fazer isso, realizamos o produto escalar da linha nº 1 da matriz A e coluna nº 1 da matriz B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Em seguida, procedemos de maneira semelhante, alterando apenas linhas, colunas (dependendo do índice do elemento).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Os elementos são calculados. Agora resta apenas fazer um bloco retangular dos números recebidos.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplicação de três matrizes: a parte teórica
Você consegue encontrar o produto de três matrizes? Esta operação computacional é viável. O resultado pode ser obtido de várias maneiras. Por exemplo, existem 3 tabelas quadradas (da mesma ordem) - A, B e C. Para calcular o produto, você pode:
- Primeiro multiplique A e B. Em seguida, multiplique o resultado por C.
- Primeiro encontre o produto de B e C. Depois multiplique a matriz A pelo resultado.
Se você precisa multiplicar matrizes retangulares, primeiro você precisa ter certeza de que essa operação computacional é possível. Deveos produtos A × B e B × C existem.
Multiplicação incremental não é um erro. Existe algo como "associatividade da multiplicação de matrizes". Este termo refere-se à igualdade (A × B) × C=A × (B × C).
Prática de Multiplicação de Três Matrizes
Matrizes quadradas
Comece multiplicando pequenas matrizes quadradas. A figura abaixo mostra o problema número 4, que temos que resolver.
Usaremos a propriedade de associatividade. Primeiro multiplicamos A e B, ou B e C. Lembramos apenas de uma coisa: você não pode trocar fatores, ou seja, não pode multiplicar B × A ou C × B. Com essa multiplicação, obteremos um resultado errado.
Progresso da decisão.
Passo um. Para encontrar o produto comum, primeiro multiplicamos A por B. Ao multiplicar duas matrizes, seremos guiados pelas regras descritas acima. Assim, o resultado da multiplicação de A e B será uma matriz D com 2 linhas e 2 colunas, ou seja, uma matriz retangular incluirá 4 elementos. Vamos encontrá-los fazendo o cálculo:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Resultado intermediário pronto.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Passo dois. Agora vamos multiplicar a matriz D pela matriz C. O resultado deve ser uma matriz quadrada G com 2 linhas e 2 colunas. Calcular elementos:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Assim, o resultado do produto de matrizes quadradas é uma tabela G com elementos calculados.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrizes retangulares
A figura abaixo mostra o problema número 5. É necessário multiplicar matrizes retangulares e encontrar uma solução.
Vamos verificar se é satisfeita a condição de existência dos produtos A × B e B × C. As ordens das matrizes indicadas permitem efetuar a multiplicação. Vamos começar a resolver o problema.
Progresso da decisão.
Passo um. Multiplique B por C para obter D. A matriz B tem 3 linhas e 4 colunas, e a matriz C tem 4 linhas e 2 colunas. Isso significa que obteremos uma matriz D com 3 linhas e 2 colunas. Vamos calcular os elementos. Aqui estão 2 exemplos de cálculo:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Continuamos a resolver o problema. Como resultado de cálculos adicionais, encontramos os valores d21, d2 2, d31 e d32. Esses elementos são 0, 19, 1 e 11, respectivamente. Vamos escrever os valores encontrados em um array retangular.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Passo dois. Multiplique A por D para obter a matriz final F. Ela terá 2 linhas e 2 colunas. Calcular elementos:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Componha uma matriz retangular, que é o resultado final da multiplicação de três matrizes.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introdução ao trabalho direto
Material bastante difícil de entender é o produto de matrizes de Kronecker. Ele também tem um nome adicional - um trabalho direto. O que se entende por este termo? Digamos que temos uma mesa A de ordem m × n e uma mesa B de ordem p × q. O produto direto da matriz A e da matriz B é uma matriz de ordem mp × nq.
Temos 2 matrizes quadradas A, B, que são mostradas na figura. O primeiro tem 2 colunas e 2 linhas, e o segundo tem 3 colunas e 3 linhas. Vemos que a matriz resultante do produto direto é composta por 6 linhas e exatamente o mesmo número de colunas.
Como os elementos de uma nova matriz são calculados em um produto direto? Encontrar a resposta a esta pergunta é muito fácil se você analisar a imagem. Primeiro preencha a primeira linha. Pegue o primeiro elemento da linha superior da tabela A e multiplique sequencialmente pelos elementos da primeira linhada tabela B. Em seguida, pegue o segundo elemento da primeira linha da tabela A e multiplique sequencialmente pelos elementos da primeira linha da tabela B. Para preencher a segunda linha, pegue o primeiro elemento da primeira linha da tabela A novamente e multiplique pelos elementos da segunda linha da tabela B.
A matriz final obtida por produto direto é chamada de matriz de blocos. Se analisarmos a figura novamente, podemos ver que nosso resultado consiste em 4 blocos. Todos eles incluem elementos da matriz B. Além disso, um elemento de cada bloco é multiplicado por um elemento específico da matriz A. No primeiro bloco, todos os elementos são multiplicados por a11, no segundo - por a12, no terceiro - em a21, no quarto - em um22.
Determinante do produto
Ao considerar o tópico da multiplicação de matrizes, vale a pena considerar um termo como “o determinante do produto de matrizes”. O que é um determinante? Esta é uma característica importante de uma matriz quadrada, um determinado valor que é atribuído a esta matriz. A designação literal do determinante é det.
Para uma matriz A consistindo de duas colunas e duas linhas, o determinante é fácil de encontrar. Existe uma pequena fórmula que é a diferença entre os produtos de elementos específicos:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Vamos considerar um exemplo de cálculo do determinante para uma tabela de segunda ordem. Existe uma matriz A em que a11=2, a12=3, a21=5 e a22=1. Para calcular o determinante, use a fórmula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Para matrizes 3 × 3, o determinante é calculado usando uma fórmula mais complexa. É apresentado abaixo para a matriz A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Para lembrar a fórmula, criamos a regra do triângulo, que está ilustrada na figura. Primeiro, os elementos da diagonal principal são multiplicados. Os produtos desses elementos indicados pelos ângulos dos triângulos com lados vermelhos são adicionados ao valor obtido. Em seguida, o produto dos elementos da diagonal secundária é subtraído e os produtos desses elementos indicados pelos cantos dos triângulos com lados azuis são subtraídos.
Agora vamos falar sobre o determinante do produto de matrizes. Existe um teorema que diz que este indicador é igual ao produto dos determinantes das tabelas multiplicadoras. Vamos verificar isso com um exemplo. Temos a matriz A com entradas a11=2, a12=3, a21=1 e a22=1 e matriz B com entradas b11=4, b12=5, b 21 =1 eb22=2. Encontre os determinantes das matrizes A e B, o produto A × B e o determinante desse produto.
Progresso da decisão.
Passo um. Calcule o determinante para A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Em seguida, calcule o determinante para B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Passo dois. Vamos encontrarproduto A × B. Denote a nova matriz pela letra C. Calcule seus elementos:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Passo três. Calcule o determinante para C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Compare com o valor que poderia ser obtido multiplicando os determinantes das matrizes originais. Os números são os mesmos. O teorema acima é verdadeiro.
Classificação do produto
O posto de uma matriz é uma característica que reflete o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes. Para calcular o posto, são realizadas transformações elementares da matriz:
- rearranjo de duas linhas paralelas;
- multiplicação de todos os elementos de uma determinada linha da tabela por um número diferente de zero;
- somando os elementos de uma linha de elementos de outra linha, multiplicados por um número específico.
Após transformações elementares, observe o número de strings diferentes de zero. Seu número é o posto da matriz. Considere o exemplo anterior. Apresentava 2 matrizes: A com elementos a11=2, a12=3, a21=1 e a22 =1 e B com elementos b11=4, b12=5, b21=1 eb22=2. Usaremos também a matriz C obtida como resultado da multiplicação. Se realizarmos transformações elementares, não haverá linhas zero nas matrizes simplificadas. Isso significa que tanto a classificação da tabela A quanto a classificação da tabela B e a classificaçãoa tabela C é 2.
Agora vamos prestar atenção especial ao posto do produto de matrizes. Existe um teorema que diz que o rank de um produto de tabelas contendo elementos numéricos não excede o rank de nenhum dos fatores. Isso pode ser comprovado. Seja A uma matriz k × s e B uma matriz s × m. O produto de A e B é igual a C.
Vamos estudar a figura acima. Mostra a primeira coluna da matriz C e sua notação simplificada. Esta coluna é uma combinação linear das colunas incluídas na matriz A. Da mesma forma, pode-se dizer sobre qualquer outra coluna do arranjo retangular C. Assim, o subespaço formado pelos vetores coluna da tabela C está no subespaço formado pelos vetores de coluna da tabela A. Portanto, a dimensão do subespaço nº 1 não excede a dimensão do subespaço nº 2. Isso implica que a classificação nas colunas da tabela C não excede a classificação nas colunas da tabela A, isto é, r(C) ≦ r(A). Se argumentarmos de maneira semelhante, podemos ter certeza de que as linhas da matriz C são combinações lineares das linhas da matriz B. Isso implica na desigualdade r(C) ≦ r(B).
Como encontrar o produto de matrizes é um tópico bastante complicado. Pode ser facilmente dominado, mas para alcançar tal resultado, você terá que gastar muito tempo memorizando todas as regras e teoremas existentes.
