Matrix é um objeto especial em matemática. É representado na forma de uma mesa retangular ou quadrada, composta por um certo número de linhas e colunas. Em matemática, há uma grande variedade de tipos de matrizes, diferindo em tamanho ou conteúdo. Os números de suas linhas e colunas são chamados de ordens. Esses objetos são usados em matemática para organizar a escrita de sistemas de equações lineares e buscar convenientemente seus resultados. Equações usando uma matriz são resolvidas usando o método de Carl Gauss, Gabriel Cramer, menores e adições algébricas e muitas outras maneiras. A habilidade básica ao trabalhar com matrizes é trazê-las para uma forma padrão. No entanto, primeiro, vamos descobrir quais tipos de matrizes são distinguidos pelos matemáticos.
Tipo nulo
Todos os componentes deste tipo de matriz são zeros. Enquanto isso, o número de suas linhas e colunas é completamente diferente.
Tipo quadrado
O número de colunas e linhas desse tipo de matriz é o mesmo. Em outras palavras, é uma tabela de formato "quadrado". O número de suas colunas (ou linhas) é chamado de ordem. Casos especiais são a existência de uma matriz de segunda ordem (matriz 2x2), quarta ordem (4x4), décima (10x10), décima sétima (17x17) e assim por diante.
Vetor de coluna
Este é um dos tipos mais simples de matrizes, contendo apenas uma coluna, que inclui três valores numéricos. Representa uma série de termos livres (números independentes de variáveis) em sistemas de equações lineares.
Vetor linha
Vista semelhante à anterior. Consiste em três elementos numéricos, por sua vez organizados em uma linha.
Tipo diagonal
Somente componentes da diagonal principal (destacada em verde) recebem valores numéricos na forma diagonal da matriz. A diagonal principal começa com o elemento no canto superior esquerdo e termina com o elemento no canto inferior direito, respectivamente. Os demais componentes são zero. O tipo diagonal é apenas uma matriz quadrada de alguma ordem. Entre as matrizes da forma diagonal, pode-se destacar uma escalar. Todos os seus componentes assumem os mesmos valores.
Matriz de identidade
Uma subespécie da matriz diagonal. Todos os seus valores numéricos são unidades. Usando um único tipo de tabela de matrizes, realize suas transformações básicas ou encontre uma matriz inversa à original.
Tipo canônico
A forma canônica de uma matriz é considerada uma das principais; elenco para ele é muitas vezes necessário para trabalhar. O número de linhas e colunas na matriz canônica é diferente, não necessariamente pertence ao tipo quadrado. É um pouco semelhante à matriz identidade, porém, no seu caso, nem todos os componentes da diagonal principal assumem valor igual a um. Pode haver duas ou quatro unidades diagonais principais (tudo depende do comprimento e largura da matriz). Ou pode não haver nenhuma unidade (então é considerado zero). Os demais componentes do tipo canônico, assim como os elementos da diagonal e identidade, são iguais a zero.
Tipo Triângulo
Um dos tipos mais importantes de matriz, usado na busca de seu determinante e na realização de operações simples. O tipo triangular vem do tipo diagonal, então a matriz também é quadrada. A vista triangular da matriz é dividida em triangular superior e triangular inferior.
Na matriz triangular superior (Fig. 1), apenas os elementos que estão acima da diagonal principal assumem valor igual a zero. Os componentes da própria diagonal e a parte da matriz abaixo dela contêm valores numéricos.
Na matriz triangular inferior (Fig. 2), ao contrário, os elementos localizados na parte inferior da matriz são iguais a zero.
Matriz de passos
A visão é necessária para encontrar o posto de uma matriz, bem como para operações elementares sobre elas (juntamente com o tipo triangular). A matriz de passos é assim chamada porque contém "passos" característicos de zeros (como mostrado na figura). No tipo escalonado, uma diagonal de zeros é formada (não necessariamente a principal), e todos os elementos sob essa diagonal também possuem valores iguais a zero. Um pré-requisito é o seguinte: se houver uma linha zero na matriz de etapas, as linhas restantes abaixo dela também não conterão valores numéricos.
Assim, consideramos os tipos mais importantes de matrizes necessárias para trabalhar com elas. Agora vamos lidar com a tarefa de converter uma matriz na forma necessária.
Reduzir para forma triangular
Como trazer a matriz para uma forma triangular? Na maioria das vezes, em atribuições, você precisa converter uma matriz em uma forma triangular para encontrar seu determinante, também chamado de determinante. Ao realizar este procedimento, é extremamente importante “preservar” a diagonal principal da matriz, pois o determinante de uma matriz triangular é exatamente o produto dos componentes de sua diagonal principal. Deixe-me também lembrá-lo de métodos alternativos para encontrar o determinante. O determinante do tipo quadrado é encontrado usando fórmulas especiais. Por exemplo, você pode usar o método do triângulo. Para outras matrizes, é utilizado o método de decomposição por linha, coluna ou seus elementos. Você também pode aplicar o método dos menores e complementos algébricos da matriz.
DetalhesVamos analisar o processo de trazer uma matriz para uma forma triangular usando exemplos de algumas tarefas.
Tarefa 1
É necessário encontrar o determinante da matriz apresentada, usando o método de trazê-la para a forma triangular.
A matriz que nos foi dada é uma matriz quadrada de terceira ordem. Portanto, para transformá-lo em uma forma triangular, precisamos anular dois componentes da primeira coluna e um componente da segunda.
Para trazê-lo para uma forma triangular, comece a transformação do canto inferior esquerdo da matriz - a partir do número 6. Para transformá-lo em zero, multiplique a primeira linha por três e subtraia da última linha.
Importante! A linha superior não muda, mas permanece a mesma da matriz original. Você não precisa escrever uma string quatro vezes a original. Mas os valores das strings cujos componentes precisam ser anulados estão mudando constantemente.
A seguir, vamos lidar com o próximo valor - o elemento da segunda linha da primeira coluna, número 8. Multiplique a primeira linha por quatro e subtraia da segunda linha. Obtemos zero.
Somente o último valor permanece - o elemento da terceira linha da segunda coluna. Este é o número (-1). Para zerar, subtraia o segundo da primeira linha.
Vamos verificar:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Então a resposta da tarefa é -22.
Tarefa 2
Precisamos encontrar o determinante da matriz trazendo-o para uma forma triangular.
Matriz representadapertence ao tipo quadrado e é uma matriz de quarta ordem. Isso significa que três componentes da primeira coluna, dois componentes da segunda coluna e um componente da terceira coluna devem ser zerados.
Vamos começar sua redução a partir do elemento localizado no canto inferior esquerdo - a partir do número 4. Precisamos transformar esse número em zero. A maneira mais fácil de fazer isso é multiplicar a linha superior por quatro e depois subtraí-la da quarta linha. Vamos anotar o resultado do primeiro estágio da transformação.
Então, o componente da quarta linha é definido como zero. Passemos ao primeiro elemento da terceira linha, ao número 3. Realizamos uma operação semelhante. Multiplique por três na primeira linha, subtraia da terceira linha e escreva o resultado.
A seguir, vemos o número 2 na segunda linha. Repetimos a operação: multiplique a linha de cima por dois e subtraia da segunda.
Conseguimos zerar todas as componentes da primeira coluna desta matriz quadrada, exceto o número 1, elemento da diagonal principal que não requer transformação. Agora é importante manter os zeros resultantes, então vamos realizar transformações com linhas, não colunas. Vamos para a segunda coluna da matriz apresentada.
Vamos começar de baixo novamente - do elemento da segunda coluna da última linha. Este é o número (-7). No entanto, neste caso, é mais conveniente começar com o número (-1) - o elemento da segunda coluna da terceira linha. Para zerar, subtraia a segunda linha da terceira linha. Em seguida, multiplicamos a segunda linha por sete e subtraímos da quarta. Obtemos zero em vez do elemento localizado na quarta linha da segunda coluna. Agora vamos para o terceirocoluna.
Nesta coluna, precisamos zerar apenas um número - 4. É fácil de fazer: basta adicionar o terceiro à última linha e ver o zero que precisamos.
Após todas as transformações, trouxemos a matriz proposta para uma forma triangular. Agora, para encontrar seu determinante, você só precisa multiplicar os elementos resultantes da diagonal principal. Obtemos: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Portanto, a solução é o número 160.
Então, agora a questão de trazer a matriz para uma forma triangular não vai dificultar para você.
Redução para forma escalonada
Em operações elementares em matrizes, a forma escalonada é menos "exigida" que a triangular. É mais comumente usado para encontrar o posto de uma matriz (ou seja, o número de suas linhas diferentes de zero) ou para determinar linhas linearmente dependentes e independentes. No entanto, a visualização de matriz escalonada é mais versátil, pois é adequada não apenas para o tipo quadrado, mas para todos os outros.
Para reduzir uma matriz a uma forma escalonada, primeiro você precisa encontrar seu determinante. Para isso, os métodos acima são adequados. O objetivo de encontrar o determinante é descobrir se ele pode ser convertido em uma matriz de passos. Se o determinante for maior ou menor que zero, você poderá prosseguir com segurança para a tarefa. Se for igual a zero, não funcionará para reduzir a matriz a uma forma escalonada. Nesse caso, é necessário verificar se há algum erro no registro ou nas transformações de matriz. Se não houver tais imprecisões, a tarefa não poderá ser resolvida.
Vamos ver comotraga a matriz para uma forma escalonada usando exemplos de várias tarefas.
Tarefa 1. Encontre o posto da tabela de matrizes fornecida.
Antes de nós está uma matriz quadrada de terceira ordem (3x3). Sabemos que para encontrar a classificação, é necessário reduzi-la a uma forma escalonada. Portanto, primeiro precisamos encontrar o determinante da matriz. Usando o método do triângulo: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinante=12. É maior que zero, o que significa que a matriz pode ser reduzida a uma forma escalonada. Vamos começar suas transformações.
Vamos começar com o elemento da coluna esquerda da terceira linha - o número 2. Multiplique a linha superior por dois e subtraia da terceira. Graças a esta operação, tanto o elemento que precisamos quanto o número 4 - o elemento da segunda coluna da terceira linha - se transformaram em zero.
Em seguida, zerar o elemento da segunda linha da primeira coluna - o número 3. Para fazer isso, multiplique a linha superior por três e subtraia da segunda.
Vemos que a redução resultou em uma matriz triangular. No nosso caso, a transformação não pode ser continuada, pois os componentes restantes não podem ser zerados.
Então, concluímos que o número de linhas contendo valores numéricos nesta matriz (ou seu posto) é 3. Resposta da tarefa: 3.
Tarefa 2. Determine o número de linhas linearmente independentes desta matriz.
Precisamos encontrar strings que não possam ser revertidas por nenhuma transformaçãopara zero. Na verdade, precisamos encontrar o número de linhas diferentes de zero, ou o posto da matriz representada. Para fazer isso, vamos simplificar.
Vemos uma matriz que não pertence ao tipo quadrado. Tem dimensões 3x4. Vamos também iniciar a conversão a partir do elemento do canto inferior esquerdo - o número (-1).
Adicione a primeira linha à terceira. Em seguida, subtraia o segundo para transformar o número 5 em zero.
Mais transformações são impossíveis. Assim, concluímos que o número de linhas linearmente independentes e a resposta da tarefa é 3.
Agora trazer a matriz para uma forma escalonada não é uma tarefa impossível para você.
Nos exemplos dessas tarefas, analisamos a redução de uma matriz a uma forma triangular e a uma forma escalonada. Para anular os valores desejados das tabelas de matrizes, em alguns casos, é necessário mostrar imaginação e transformar corretamente suas colunas ou linhas. Boa sorte na matemática e no trabalho com matrizes!
