Matrizes: Método de Gauss. Cálculo da Matriz de Gauss: Exemplos

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Álgebra Linear, que é ensinada nas universidades em várias especialidades, combina muitos tópicos complexos. Alguns deles estão relacionados a matrizes, bem como à solução de sistemas de equações lineares pelos métodos de Gauss e Gauss-Jordan. Nem todos os alunos conseguem entender esses tópicos, algoritmos para resolver vários problemas. Vamos entender juntos as matrizes e métodos de Gauss e Gauss-Jordan.

Conceitos básicos

Uma matriz em álgebra linear é uma matriz retangular de elementos (tabela). Abaixo estão conjuntos de elementos entre parênteses. Isso são matrizes. A partir do exemplo acima, pode-se ver que os elementos em matrizes retangulares não são apenas números. A matriz pode consistir em funções matemáticas, símbolos algébricos.

Para entender alguns conceitos, vamos fazer uma matriz A a partir dos elementos a_ij. Índices não são apenas letras: i é o número da linha na tabela e j é o número da coluna, na área da interseção da qual o elemento está localizadoa_ij. Assim, vemos que temos uma matriz de elementos como a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ e assim por diante A letra n denota o número de colunas e a letra m denota o número de linhas. O símbolo m × n denota a dimensão da matriz. Este é o conceito que define o número de linhas e colunas em uma matriz retangular de elementos.

Opcionalmente, a matriz deve ter várias colunas e linhas. Com uma dimensão de 1 × n, a matriz de elementos é de linha única e com uma dimensão de m × 1, é uma matriz de coluna única. Quando o número de linhas e o número de colunas são iguais, a matriz é chamada de quadrada. Toda matriz quadrada tem um determinante (det A). Este termo refere-se ao número que é atribuído à matriz A.

Alguns conceitos mais importantes a serem lembrados para resolver matrizes com sucesso são as diagonais principal e secundária. A diagonal principal de uma matriz é a diagonal que desce até o canto direito da mesa a partir do canto superior esquerdo. A diagonal lateral vai para o canto direito a partir do canto esquerdo de baixo para cima.

Vista de matriz escalonada

Veja a figura abaixo. Nele você verá uma matriz e um diagrama. Vamos lidar com a matriz primeiro. Em álgebra linear, uma matriz desse tipo é chamada de matriz degrau. Ele tem uma propriedade: se a_ij for o primeiro elemento diferente de zero na i-ésima linha, todos os outros elementos da matriz abaixo e à esquerda de a_ij , são nulos (ou seja, todos os elementos que podem receber a designação de letra a_kl, onde k>i el<j).

Agora considere o diagrama. Ele reflete a forma escalonada da matriz. O esquema mostra 3 tipos de células. Cada tipo denota certos elementos:

células vazias - zero elementos da matriz;
células sombreadas são elementos arbitrários que podem ser zero e diferentes de zero;
quadrados pretos são elementos diferentes de zero, que são chamados de elementos de canto, “degraus” (na matriz mostrada ao lado, tais elementos são os números –1, 5, 3, 8).

Ao resolver matrizes, às vezes o resultado é que o "comprimento" do passo é maior que 1. Isso é permitido. Apenas a " altura" dos degraus importa. Em uma matriz de passos, este parâmetro deve ser sempre igual a um.

Redução de matriz para forma degrau

Qualquer matriz retangular pode ser convertida em uma forma escalonada. Isso é feito através de transformações elementares. Eles incluem:

reorganizando strings;
Adicionando outra linha a uma linha, se necessário multiplicado por algum número (você também pode realizar uma operação de subtração).

Vamos considerar transformações elementares na resolução de um problema específico. A figura abaixo mostra a matriz A, que precisa ser reduzida a uma forma escalonada.

O problema de reduzir uma matriz a uma forma escalonada

Para resolver o problema, seguiremos o algoritmo:

É conveniente realizar transformações em uma matriz como primeiro elemento no canto superior esquerdo (ou seja, o elemento "principal") é 1 ou -1. No nosso caso, o primeiro elemento na linha superior é 2, então vamos trocar a primeira e a segunda linha.
Vamos realizar operações de subtração, afetando as linhas 2, 3 e 4. Devemos obter zeros na primeira coluna sob o elemento "principal". Para chegar a este resultado: dos elementos da linha nº 2, subtraímos sequencialmente os elementos da linha nº 1, multiplicados por 2; dos elementos da linha nº 3 subtraímos sequencialmente os elementos da linha nº 1, multiplicados por 4; dos elementos da linha nº 4 subtraímos sequencialmente os elementos da linha nº 1.
A seguir, trabalharemos com uma matriz truncada (sem coluna 1 e sem linha 1). O novo elemento "principal", situado na interseção da segunda coluna e da segunda linha, é igual a -1. Não há necessidade de reorganizar as linhas, então reescrevemos a primeira coluna e a primeira e a segunda linhas sem alterações. Vamos realizar operações de subtração para obter zeros na segunda coluna sob o elemento "principal": dos elementos da terceira linha subtraímos sequencialmente os elementos da segunda linha, multiplicados por 3; subtraia os elementos da segunda linha multiplicados por 2 dos elementos da quarta linha.
Resta alterar a última linha. De seus elementos subtraímos sucessivamente os elementos da terceira linha. Assim, temos uma matriz escalonada.

Redução de matrizes a uma forma degrau é usada na resolução de sistemas de equações lineares (SLE) pelo método de Gauss. Antes de analisar este método, vamos entender alguns dos termos relacionados ao SLN.

Matrizes e sistemas de equações lineares

Matrizes são usadas em várias ciências. Usando tabelas de números, você pode, por exemplo, resolver equações lineares combinadas em um sistema usando o método de Gauss. Primeiro, vamos conhecer alguns termos e suas definições, e também ver como uma matriz é formada a partir de um sistema que combina várias equações lineares.

SLU – várias equações algébricas combinadas com incógnitas de primeira potência e sem termos de produto.

solução SLE – encontrou valores de incógnitas, substituindo quais as equações do sistema tornam-se identidades.

Um SLE conjunto é um sistema de equações que tem pelo menos uma solução.

SLE inconsistente é um sistema de equações que não tem soluções.

Como se forma uma matriz a partir de um sistema que combina equações lineares? Existem conceitos como as matrizes principais e estendidas do sistema. Para obter a matriz principal do sistema, é necessário colocar na tabela todos os coeficientes das incógnitas. A matriz expandida é obtida adicionando uma coluna de termos livres à matriz principal (inclui elementos conhecidos aos quais cada equação do sistema é equacionada). Você pode entender todo esse processo estudando a figura abaixo.

A primeira coisa que vemos na figura é um sistema que inclui equações lineares. Seus elementos: a_ij – coeficientes numéricos, x_j – valores desconhecidos, b_i – termos constantes (onde i=1, 2, …, m e j=1, 2, …, n). O segundo elemento na imagem é a matriz principal de coeficientes. De cada equação, os coeficientes são escritos em uma linha. Como resultado, há tantas linhas na matriz quanto há equações no sistema. O número de colunas é igual ao maior número de coeficientes em qualquer equação. O terceiro elemento na imagem é uma matriz aumentada com uma coluna de termos livres.

Informações gerais sobre o método de Gauss

Em álgebra linear, o método de Gauss é a forma clássica de resolver o SLE. Tem o nome de Carl Friedrich Gauss, que viveu nos séculos XVIII e XIX. Este é um dos maiores matemáticos de todos os tempos. A essência do método de Gauss é realizar transformações elementares em um sistema de equações algébricas lineares. Com a ajuda de transformações, o SLE é reduzido a um sistema equivalente de forma triangular (degrau), a partir do qual todas as variáveis podem ser encontradas.

Vale a pena notar que Carl Friedrich Gauss não é o descobridor do método clássico de resolver um sistema de equações lineares. O método foi inventado muito antes. Sua primeira descrição encontra-se na enciclopédia do conhecimento dos antigos matemáticos chineses, chamada "Matemática em 9 livros".

Um exemplo de resolução do SLE pelo método de Gauss

Vamos considerar a solução de sistemas pelo método de Gauss em um exemplo específico. Trabalharemos com o SLU mostrado na imagem.

Algoritmo de resolução:

Reduziremos o sistema a uma forma degrau pelo movimento direto do método de Gauss, mas primeirovamos compor uma matriz expandida de coeficientes numéricos e membros livres.
Para resolver a matriz usando o método gaussiano (ou seja, trazê-la para uma forma escalonada), dos elementos da segunda e terceira linhas, subtraímos sequencialmente os elementos da primeira linha. Obtemos zeros na primeira coluna sob o elemento "principal". Em seguida, alteraremos a segunda e a terceira linhas nos locais por conveniência. Aos elementos da última linha, some sequencialmente os elementos da segunda linha, multiplicados por 3.
Como resultado do cálculo da matriz pelo método de Gauss, obtivemos um array escalonado de elementos. Com base nele, vamos compor um novo sistema de equações lineares. Pelo curso inverso do método de Gauss, encontramos os valores dos termos desconhecidos. Pode-se ver pela última equação linear que x₃ é igual a 1. Substituímos este valor na segunda linha do sistema. Você obtém a equação x₂ – 4=–4. Segue que x₂ é igual a 0. Substitua x₂ e x₃ na primeira equação do sistema: x1 _{+ 0 +3=2. O termo desconhecido é -1.}

Resposta: usando a matriz, o método gaussiano, encontramos os valores das incógnitas; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

método Gauss-Jordan

Em álgebra linear também existe o método de Gauss-Jordan. É considerado uma modificação do método gaussiano e é usado para encontrar a matriz inversa, calcular termos desconhecidos de sistemas quadrados de equações lineares algébricas. O método de Gauss-Jordan é conveniente, pois permite resolver o SLE em uma única etapa (sem o uso de métodos diretos e inversos).movimentos).

Vamos começar com o termo "matriz inversa". Suponha que tenhamos uma matriz A. A inversa para ela será a matriz A^-1, enquanto a condição é necessariamente satisfeita: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, ou seja, o produto dessas matrizes é igual à matriz identidade (os elementos da diagonal principal da matriz identidade são uns, e os demais elementos são zero).}

Uma nuance importante: em álgebra linear existe um teorema sobre a existência de uma matriz inversa. Uma condição suficiente e necessária para a existência da matriz A^-1 é que a matriz A não seja singular.

Passos básicos nos quais se baseia o método de Gauss-Jordan:

Olhe para a primeira linha de uma matriz específica. O método de Gauss-Jordan pode ser iniciado se o primeiro valor não for igual a zero. Se o primeiro lugar for 0, troque as linhas para que o primeiro elemento tenha um valor diferente de zero (é desejável que o número seja mais próximo de um).
Divida todos os elementos da primeira linha pelo primeiro número. Você terminará com uma string que começa com um.
Da segunda linha, subtraia a primeira linha multiplicada pelo primeiro elemento da segunda linha, ou seja, no final você terá uma linha que começa do zero. Faça o mesmo para o resto das linhas. Divida cada linha por seu primeiro elemento diferente de zero para obter 1 na diagonal.
Como resultado, você obterá a matriz triangular superior usando o método de Gauss - Jordan. Nele, a diagonal principal é representada por unidades. O canto inferior é preenchido com zeros ecanto superior - vários valores.
Da penúltima linha, subtraia a última linha multiplicada pelo coeficiente requerido. Você deve obter uma string com zeros e um. Para o resto das linhas, repita a mesma ação. Após todas as transformações, será obtida a matriz identidade.

Um exemplo de como encontrar a matriz inversa usando o método de Gauss-Jordan

Para calcular a matriz inversa, você precisa escrever a matriz aumentada A|E e realizar as transformações necessárias. Vamos considerar um exemplo simples. A figura abaixo mostra a matriz A.

Solução:

Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz usando o método gaussiano (det A). Se este parâmetro não for igual a zero, a matriz será considerada não singular. Isso nos permitirá concluir que A definitivamente tem A^-1. Para calcular o determinante, transformamos a matriz em uma forma gradual por transformações elementares. Vamos contar o número K igual ao número de permutações de linhas. Mudamos as linhas apenas 1 vez. Vamos calcular o determinante. Seu valor será igual ao produto dos elementos da diagonal principal, multiplicado por (–1)^K. Resultado do cálculo: det A=2.
Componha a matriz aumentada adicionando a matriz identidade à matriz original. A matriz de elementos resultante será usada para encontrar a matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.
O primeiro elemento na primeira linha é igual a um. Isso nos convém, porque não há necessidade de reorganizar as linhas e dividir a linha dada por algum número. Vamos começar a trabalharcom a segunda e terceira linhas. Para transformar o primeiro elemento da segunda linha em 0, subtraia a primeira linha multiplicada por 3 da segunda linha. Subtraia a primeira linha da terceira linha (sem necessidade de multiplicação).
Na matriz resultante, o segundo elemento da segunda linha é -4 e o segundo elemento da terceira linha é -1. Vamos trocar as linhas por conveniência. Da terceira linha subtraia a segunda linha multiplicada por 4. Divida a segunda linha por -1 e a terceira linha por 2. Obtemos a matriz triangular superior.
Vamos subtrair a última linha multiplicada por 4 da segunda linha e a última linha multiplicada por 5 da primeira linha. Em seguida, subtraia a segunda linha multiplicada por 2 da primeira linha. No lado esquerdo temos a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

Um exemplo de solução de SLE pelo método de Gauss-Jordan

A figura mostra um sistema de equações lineares. É necessário encontrar os valores das variáveis desconhecidas usando uma matriz, o método de Gauss-Jordan.

Solução:

Vamos criar uma matriz aumentada. Para isso, colocaremos os coeficientes e os termos livres na tabela.
Resolva a matriz usando o método de Gauss-Jordan. Da linha nº 2 subtraímos a linha nº 1. Da linha nº 3 subtraímos a linha nº 1, anteriormente multiplicada por 2.
Troque as linhas 2 e 3.
Da linha 3 subtraia a linha 2 multiplicada por 2. Divida a terceira linha resultante por –1.
Subtraia a linha 3 da linha 2.
Subtraia a linha 1 da linha 12 vezes -1. Ao lado, temos uma coluna composta pelos números 0, 1 e -1. A partir disso, concluímos que x₁=0, x₂=1 e x₃ =–1.

Se desejar, você pode verificar a correção da solução substituindo os valores calculados nas equações:

0 – 1=–1, a primeira identidade do sistema está correta;
0 + 1 + (–1)=0, a segunda identidade do sistema está correta;
0 – 1 + (–1)=–2, a terceira identidade do sistema está correta.

Conclusão: usando o método de Gauss-Jordan, encontramos a solução correta para um sistema quadrático que combina equações algébricas lineares.

Calculadoras online

A vida dos jovens de hoje que estudam em universidades e estudam álgebra linear foi bastante simplificada. Alguns anos atrás, tivemos que encontrar soluções para sistemas usando o método de Gauss e Gauss-Jordan por conta própria. Alguns alunos lidaram com sucesso com as tarefas, enquanto outros ficaram confusos na solução, cometeram erros, pediram ajuda aos colegas. Hoje, você pode usar calculadoras online ao fazer a lição de casa. Para resolver sistemas de equações lineares, procurar matrizes inversas, foram escritos programas que demonstram não apenas as respostas corretas, mas também mostram o progresso da resolução de um determinado problema.

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