A geometria espacial, cujo curso é estudado nas séries 10-11 da escola, considera as propriedades das figuras tridimensionais. O artigo dá uma definição geométrica de um cilindro, fornece uma fórmula para calcular seu volume e também resolve um problema físico onde é importante conhecer esse volume.
O que é um cilindro?
Do ponto de vista da estereometria, a definição de cilindro pode ser dada da seguinte forma: é uma figura formada como resultado de um deslocamento paralelo de um segmento reto ao longo de uma determinada curva plana fechada. O segmento nomeado não deve pertencer ao mesmo plano da curva. Se a curva é um círculo e o segmento é perpendicular a ela, o cilindro formado da maneira descrita é chamado de reto e redondo. É mostrado na imagem abaixo.
Não é difícil adivinhar que essa forma pode ser obtida girando um retângulo em torno de qualquer um de seus lados.
O cilindro tem duas bases idênticas, que são círculos, e um ladosuperfície cilíndrica. O círculo da base é chamado de diretriz, e o segmento perpendicular que conecta os círculos de diferentes bases é o gerador da figura.
Como encontrar o volume de um cilindro redondo e reto?
Tendo nos familiarizado com a definição de cilindro, vamos considerar quais parâmetros você precisa saber para descrever matematicamente suas características.
A distância entre as duas bases é a altura da figura. É óbvio que é igual ao comprimento da matriz geradora. Vamos denotar a altura com a letra latina h. O raio do círculo na base é denotado pela letra r. Também é chamado de raio do cilindro. Os dois parâmetros introduzidos são suficientes para descrever inequivocamente todas as propriedades da figura em questão.
Dada a definição geométrica de um cilindro, seu volume pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
V=Sh
Aqui S é a área da base. Observe que para qualquer cilindro e para qualquer prisma, a fórmula escrita é válida. No entanto, para um cilindro reto redondo, é bastante conveniente usá-lo, pois a altura é uma geratriz e a área S da base pode ser determinada lembrando a fórmula da área de um círculo:
S=pir2
Assim, a fórmula de trabalho para o volume V da figura em questão será escrita como:
V=pir2h
Força de empuxo
Todo aluno sabe que se um objeto for imerso na água, seu peso será menor. A razão deste fatoé o surgimento de uma força flutuante ou de Arquimedes. Atua em qualquer corpo, independentemente de sua forma e material de que são feitos. A força de Arquimedes pode ser determinada pela fórmula:
FA=ρlgVl
Aqui ρl e Vl são a densidade do líquido e seu volume deslocado pelo corpo. É importante não confundir este volume com o volume do corpo. Eles combinarão apenas se o corpo estiver completamente imerso no líquido. Para qualquer imersão parcial, Vl é sempre menor que V do corpo.
A força de empuxo FA é chamada porque está direcionada verticalmente para cima, ou seja, tem direção oposta à gravidade. Diferentes direções dos vetores de força levam ao fato de que o peso do corpo em qualquer líquido é menor que no ar. Para ser justo, notamos que no ar, todos os corpos também são afetados por uma força de empuxo, no entanto, é desprezível em comparação com a força de Arquimedes na água (800 vezes menos).
A diferença no peso dos corpos no líquido e no ar é usada para determinar as densidades de substâncias sólidas e líquidas. Este método é chamado de pesagem hidrostática. Segundo a lenda, foi usado pela primeira vez por Arquimedes para determinar a densidade do metal do qual a coroa foi feita.
Use a fórmula acima para determinar a força de empuxo agindo em um cilindro de latão.
O problema de calcular a força de Arquimedes agindo em um cilindro de latão
Sabe-se que um cilindro de latão tem 20 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Qual será a força de Arquimedes,que começará a agir sobre ele se o cilindro for jogado em água destilada.
Para determinar a força de empuxo em um cilindro de latão, primeiro observe a densidade do latão na tabela. É igual a 8600 kg/m3 (este é o valor médio de sua densidade). Como esse valor é maior que a densidade da água (1000 kg/m3), o objeto afundará.
Para determinar a força de Arquimedes, basta encontrar o volume do cilindro e, em seguida, usar a fórmula acima para FA. Temos:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Substituímos o valor do raio de 5 cm na fórmula, pois é duas vezes menor que o dado na condição do problema do diâmetro.
Para a força de empuxo temos:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4H
Aqui convertemos o volume V para m3.
Assim, uma força ascendente de 15,4 N atuará sobre um cilindro de latão de dimensões conhecidas, imerso em água.
