Ao estudar estereometria, um dos principais tópicos é "Cilindro". A área de superfície lateral é considerada, se não a principal, então uma fórmula importante na resolução de problemas geométricos. No entanto, é importante lembrar as definições que o ajudarão a navegar pelos exemplos e ao provar vários teoremas.
Conceito de cilindro
Primeiro precisamos considerar algumas definições. Somente depois de estudá-los pode-se começar a considerar a questão da fórmula para a área da superfície lateral de um cilindro. Com base nessa entrada, outras expressões podem ser calculadas.
- Uma superfície cilíndrica é entendida como um plano descrito por uma geratriz, movendo-se e permanecendo paralelo a uma determinada direção, deslizando ao longo de uma curva existente.
- Há também uma segunda definição: uma superfície cilíndrica é formada por um conjunto de linhas paralelas que cruzam uma dada curva.
- Gerativa é convencionalmente chamada de altura do cilindro. Quando se move em torno de um eixo que passa pelo centro da base,o corpo geométrico designado é obtido.
- Sob o eixo entende-se uma linha reta que passa pelas duas bases da figura.
- Um cilindro é um corpo estereométrico limitado por uma superfície lateral de interseção e 2 planos paralelos.
Existem variedades desta figura tridimensional:
- Circular é um cilindro cujo guia é um círculo. Seus principais componentes são o raio da base e a geratriz. Este último é igual à altura da figura.
- Existe um cilindro reto. Recebeu esse nome devido à perpendicularidade da geratriz às bases da figura.
- O terceiro tipo é um cilindro chanfrado. Nos livros didáticos, você também pode encontrar outro nome para isso - "cilindro circular com base chanfrada". Esta figura define o raio da base, as alturas mínima e máxima.
- Um cilindro equilátero é entendido como um corpo com altura e diâmetro iguais a um plano circular.
Símbolos
Tradicionalmente, os principais "componentes" de um cilindro são chamados da seguinte forma:
- O raio da base é R (também substitui o mesmo valor de uma figura estereométrica).
- Gerativa – L.
- Altura – H.
- Área da base - Sbase (em outras palavras, você precisa encontrar o parâmetro de círculo especificado).
- Alturas de cilindros chanfrados – h1, h2 (mínimo e máximo).
- Área da superfície lateral - Sside (se você expandir, obteráuma espécie de retângulo).
- O volume de uma figura estereométrica - V.
- Área total da superfície – S.
“Componentes” de uma figura estereométrica
Ao estudar um cilindro, a área da superfície lateral desempenha um papel importante. Isso se deve ao fato dessa fórmula estar incluída em várias outras mais complexas. Portanto, é necessário ser bem versado em teoria.
Os principais componentes da figura são:
- Superfície lateral. Como você sabe, é obtido devido ao movimento da geratriz ao longo de uma dada curva.
- Superfície completa inclui bases existentes e plano lateral.
- A seção de um cilindro, via de regra, é um retângulo localizado paralelo ao eixo da figura. Caso contrário, é chamado de avião. Acontece que o comprimento e a largura são componentes de meio período de outras figuras. Assim, condicionalmente, os comprimentos da seção são geradores. Largura - acordes paralelos de uma figura estereométrica.
- Seção axial significa a localização do plano através do centro do corpo.
- E finalmente, a definição final. Uma tangente é um plano que passa pela geratriz do cilindro e faz ângulos retos com a seção axial. Nesse caso, uma condição deve ser atendida. A geratriz especificada deve ser incluída no plano da seção axial.
Fórmulas básicas para trabalhar com cilindro
Para responder à questão de como encontrar a área da superfície de um cilindro, é necessário estudar os principais "componentes" de uma figura estereométrica e as fórmulas para encontrá-los.
Essas fórmulas diferem porque primeiro são fornecidas as expressões para o cilindro chanfrado e depois para o reto.
Exemplos Desconstruídos
Tarefa 1.
É necessário conhecer a área da superfície lateral do cilindro. A diagonal da seção AC=8 cm é dada (além disso, é axial). Quando em contato com a geratriz, resulta <ACD=30°
Decisão. Como os valores da diagonal e do ângulo são conhecidos, então neste caso:
CD=ACcos 30°
Comentário. O triângulo ACD, neste exemplo em particular, é um triângulo retângulo. Isso significa que o quociente de dividir CD e AC=o cosseno do ângulo dado. O valor das funções trigonométricas pode ser encontrado em uma tabela especial.
Da mesma forma, você pode encontrar o valor de AD:
AD=ACsen 30°
Agora você precisa calcular o resultado desejado usando a seguinte formulação: a área da superfície lateral do cilindro é igual a duas vezes o resultado da multiplicação de "pi", o raio da figura e sua altura. Outra fórmula também deve ser usada: a área da base do cilindro. É igual ao resultado da multiplicação de "pi" pelo quadrado do raio. E, finalmente, a última fórmula: área total da superfície. É igual à soma das duas áreas anteriores.
Tarefa 2.
Cilindros são fornecidos. Seu volume=128n cm³. Qual cilindro tem o menorsuperfície completa?
Decisão. Primeiro você precisa usar as fórmulas para encontrar o volume de uma figura e sua altura.
Como a área total da superfície de um cilindro é conhecida pela teoria, sua fórmula deve ser aplicada.
Se considerarmos a fórmula resultante em função da área do cilindro, o "indicador" mínimo será alcançado no ponto extremo. Para obter o último valor, você precisa usar a diferenciação.
As fórmulas podem ser visualizadas em uma tabela especial para encontrar derivadas. No futuro, o resultado encontrado é igualado a zero e a solução da equação é encontrada.
Resposta: Smin será alcançado em h=1/32 cm, R=64 cm.
Problema 3.
Dada uma figura estereométrica - um cilindro e uma seção. Este último é realizado de forma que esteja localizado paralelamente ao eixo do corpo estereométrico. O cilindro tem os seguintes parâmetros: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. É necessário encontrar a distância entre a seção e o eixo.
Decisão.
Como a seção transversal de um cilindro é entendida como VSCM, ou seja, um retângulo, seu lado VM=h. WMC precisa ser considerado. O triângulo é retangular. Com base nessa afirmação, podemos deduzir a suposição correta de que MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Daqui podemos concluir que MK=BC=8 cm.
O próximo passo é desenhar um corte através da base da figura. É necessário considerar o plano resultante.
AD – diâmetro de uma figura estereométrica. É paralelo à seção mencionada no enunciado do problema.
BC é uma linha reta localizada no plano do retângulo existente.
ABCD é um trapézio. Em um caso particular, é considerado isósceles, pois descreve-se um círculo ao seu redor.
Se você encontrar a altura do trapézio resultante, poderá obter a resposta dada no início do problema. Ou seja: encontrar a distância entre o eixo e a seção desenhada.
Para fazer isso, você precisa encontrar os valores de AD e OS.
Resposta: a seção está localizada a 3 cm do eixo.
Problemas para consolidar o material
Exemplo 1.
Cilindro dado. A área de superfície lateral é usada na solução adicional. Outras opções são conhecidas. A área da base é Q, a área da seção axial é M. É necessário encontrar S. Em outras palavras, a área total do cilindro.
Exemplo 2.
Cilindro dado. A área de superfície lateral deve ser encontrada em uma das etapas de resolução do problema. Sabe-se que altura=4 cm, raio=2 cm. É necessário encontrar a área total de uma figura estereométrica.
