Fórmula para determinar o volume de um cone. Exemplo de solução de problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Cada aluno do estudo de estereometria no ensino médio se deparou com um cone. Duas características importantes dessa figura espacial são a área de superfície e o volume. Neste artigo, mostraremos como encontrar o volume de um cone redondo.

Cone redondo como figura de rotação de um triângulo retângulo

Antes de ir direto ao assunto do artigo, é necessário descrever o cone do ponto de vista geométrico.

Tenha um triângulo retângulo. Se você girar em torno de qualquer uma das pernas, o resultado dessa ação será a figura desejada, mostrada na figura abaixo.

Aqui, a perna AB faz parte do eixo do cone, e seu comprimento corresponde à altura da figura. A segunda perna (segmento CA) será o raio do cone. Durante a rotação, ele descreverá um círculo que limita a base da figura. A hipotenusa BC é chamada de geratriz da figura, ou sua geratriz. O ponto B é o único vértice do cone.

Dadas as propriedades do triângulo ABC, podemos escrever a relação entre a geratriz g, raio r e altura h da seguinte formaigualdade:

g²=h²+ r²

Esta fórmula é útil para resolver muitos problemas geométricos com a figura em questão.

Fórmula do volume do cone

O volume de qualquer figura espacial é a área do espaço, que é limitada pelas superfícies dessa figura. Existem duas superfícies desse tipo para um cone:

1. Lateral, ou cônica. É formado por todas as geratrizes.
2. Fundação. Neste caso, é um círculo.

Obtenha a fórmula para determinar o volume de um cone. Para fazer isso, nós o cortamos mentalmente em muitas camadas paralelas à base. Cada uma das camadas tem uma espessura dx, que tende a zero. A área S_xda camada a uma distância x do topo da figura é igual à seguinte expressão:

S_x=pir²x²/h ²

A validade desta expressão pode ser verificada intuitivamente substituindo os valores x=0 e x=h. No primeiro caso, obteremos uma área igual a zero, no segundo caso, será igual à área da base redonda.

Para determinar o volume do cone, você precisa somar pequenos "volumes" de cada camada, ou seja, deve-se usar o cálculo integral:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Calculando esta integral, chegamos à fórmula final para um cone redondo:

V=1/3pir²h

É interessante notar que esta fórmula é completamente semelhante à usada para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária. Essa coincidência não é acidental, pois qualquer pirâmide se torna um cone quando o número de suas arestas aumenta ao infinito.

Problema de cálculo de volume

É útil dar um exemplo de solução do problema, que demonstrará o uso da fórmula derivada para o volume V.

Dado um cone redondo cuja área da base é 37 cm², e o gerador da figura é três vezes o raio. Qual é o volume do cone?

Temos o direito de usar a fórmula do volume se conhecemos duas grandezas: a altura h e o raio r. Vamos encontrar as fórmulas que os determinam de acordo com a condição do problema.

Raio r pode ser calculado conhecendo a área do círculo S_o, temos:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Usando a condição do problema, escrevemos a igualdade para o gerador g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Conhecendo as fórmulas para r e g, calcule a altura h:

h=√(g²-r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Encontramos todos os parâmetros necessários. Agora é hora de colocá-los na fórmula para V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Resta substituirárea de base S_o e calcule o valor do volume: V=119,75 cm³.