Cada aluno do estudo de estereometria no ensino médio se deparou com um cone. Duas características importantes dessa figura espacial são a área de superfície e o volume. Neste artigo, mostraremos como encontrar o volume de um cone redondo.
Cone redondo como figura de rotação de um triângulo retângulo
Antes de ir direto ao assunto do artigo, é necessário descrever o cone do ponto de vista geométrico.
Tenha um triângulo retângulo. Se você girar em torno de qualquer uma das pernas, o resultado dessa ação será a figura desejada, mostrada na figura abaixo.
Aqui, a perna AB faz parte do eixo do cone, e seu comprimento corresponde à altura da figura. A segunda perna (segmento CA) será o raio do cone. Durante a rotação, ele descreverá um círculo que limita a base da figura. A hipotenusa BC é chamada de geratriz da figura, ou sua geratriz. O ponto B é o único vértice do cone.
Dadas as propriedades do triângulo ABC, podemos escrever a relação entre a geratriz g, raio r e altura h da seguinte formaigualdade:
g2=h2+ r2
Esta fórmula é útil para resolver muitos problemas geométricos com a figura em questão.
Fórmula do volume do cone
O volume de qualquer figura espacial é a área do espaço, que é limitada pelas superfícies dessa figura. Existem duas superfícies desse tipo para um cone:
- Lateral, ou cônica. É formado por todas as geratrizes.
- Fundação. Neste caso, é um círculo.
Obtenha a fórmula para determinar o volume de um cone. Para fazer isso, nós o cortamos mentalmente em muitas camadas paralelas à base. Cada uma das camadas tem uma espessura dx, que tende a zero. A área Sxda camada a uma distância x do topo da figura é igual à seguinte expressão:
Sx=pir2x2/h 2
A validade desta expressão pode ser verificada intuitivamente substituindo os valores x=0 e x=h. No primeiro caso, obteremos uma área igual a zero, no segundo caso, será igual à área da base redonda.
Para determinar o volume do cone, você precisa somar pequenos "volumes" de cada camada, ou seja, deve-se usar o cálculo integral:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Calculando esta integral, chegamos à fórmula final para um cone redondo:
V=1/3pir2h
É interessante notar que esta fórmula é completamente semelhante à usada para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária. Essa coincidência não é acidental, pois qualquer pirâmide se torna um cone quando o número de suas arestas aumenta ao infinito.
Problema de cálculo de volume
É útil dar um exemplo de solução do problema, que demonstrará o uso da fórmula derivada para o volume V.
Dado um cone redondo cuja área da base é 37 cm2, e o gerador da figura é três vezes o raio. Qual é o volume do cone?
Temos o direito de usar a fórmula do volume se conhecemos duas grandezas: a altura h e o raio r. Vamos encontrar as fórmulas que os determinam de acordo com a condição do problema.
Raio r pode ser calculado conhecendo a área do círculo So, temos:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Usando a condição do problema, escrevemos a igualdade para o gerador g:
g=3r=3√(So/pi)
Conhecendo as fórmulas para r e g, calcule a altura h:
h=√(g2-r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Encontramos todos os parâmetros necessários. Agora é hora de colocá-los na fórmula para V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Resta substituirárea de base So e calcule o valor do volume: V=119,75 cm3.
