A matemática tem origem na Antiguidade. Graças a ela, a arquitetura, a construção e a ciência militar deram uma nova rodada de desenvolvimento, as conquistas obtidas com a ajuda da matemática levaram ao movimento do progresso. Até hoje, a matemática continua sendo a principal ciência encontrada em todos os outros ramos.
Para serem educadas, as crianças da primeira série começam a se fundir gradualmente nesse ambiente. É muito importante entender a matemática, pois ela, em um grau ou outro, ocorre a todas as pessoas ao longo de sua vida. Este artigo analisará um dos elementos-chave - encontrar e aplicar derivativos. Nem todas as pessoas podem imaginar o quão amplamente esse conceito é usado. Considere mais de 10 aplicações de derivativos em certos campos ou ciências.
Aplicação da derivada ao estudo de uma função
A derivada é tal limitea razão entre o incremento de uma função e o incremento de seu argumento quando o expoente do argumento tende a zero. A derivada é uma coisa indispensável no estudo de uma função. Por exemplo, pode ser usado para determinar o aumento e diminuição do último, extremos, convexidade e concavidade. O cálculo diferencial está incluído no currículo obrigatório para alunos do 1º e 2º ano das universidades de matemática.
Escopo e zeros de função
A primeira etapa de qualquer estudo do grafo começa com a descoberta do domínio de definição, em casos mais raros - o valor. O domínio de definição é definido ao longo do eixo das abcissas, ou seja, são valores numéricos no eixo OX. Muitas vezes, o escopo já está definido, mas se não estiver, o valor do argumento x deve ser avaliado. Suponha que, se para alguns valores do argumento a função não fizer sentido, então esse argumento é excluído do escopo.
Zeros da função são encontrados de maneira simples: a função f(x) deve ser igualada a zero e a equação resultante deve ser resolvida em relação a uma variável x. As raízes obtidas da equação são os zeros da função, ou seja, nestes x a função é 0.
Aumentar e diminuir
O uso da derivada para estudar funções para monotonicidade pode ser considerado a partir de duas posições. Uma função monotônica é uma categoria que possui apenas valores positivos da derivada, ou apenas valores negativos. Em palavras simples, a função só aumenta ou só diminui ao longo de todo o intervalo em estudo:
- Aumentar parâmetro. Funçãof(x) aumentará se a derivada de f`(x) for maior que zero.
- Parâmetro descendente. A função f(x) diminuirá se a derivada de f`(x) for menor que zero.
Tangente e Inclinação
A aplicação da derivada ao estudo de uma função também é determinada pela tangente (reta direcionada em um ângulo) ao gráfico da função em um dado ponto. Tangente em um ponto (x0) - uma linha que passa por um ponto e pertence à função cujas coordenadas são (x0, f(x 0 )) e com inclinação f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - a equação da tangente ao ponto dado do gráfico da função.
Significado geométrico da derivada: a derivada da função f(x) é igual à inclinação da tangente formada ao gráfico desta função em um dado ponto x. O coeficiente angular, por sua vez, é igual à tangente do ângulo de inclinação da tangente ao eixo OX (abscissa) no sentido positivo. Este corolário é fundamental para a aplicação da derivada ao gráfico de uma função.
Pontos extremos
Aplicar uma derivada a um estudo envolve encontrar pontos altos e baixos.
Para encontrar e determinar os pontos mínimo e máximo, você deve:
- Encontre a derivada da função f(x).
- Defina a equação resultante para zero.
- Encontre as raízes da equação.
- Encontre pontos altos e baixos.
Para encontrar extremoscaracterísticas:
- Encontre os pontos mínimo e máximo usando o método acima.
- Substitua esses pontos na equação original e calcule ymax e ymin
O ponto máximo da função é o maior valor da função f(x) no intervalo, ou seja, xmax.
O ponto mínimo da função é o menor valor da função f(x) no intervalo, ou seja, xname
Pontos extremos são iguais aos pontos máximo e mínimo, e o extremo da função (ymax. e yminimum) - valores de função que correspondem a pontos extremos.
Convexidade e concavidade
Você pode determinar a convexidade e a concavidade recorrendo ao uso da derivada para plotagem:
- Uma função f(x) examinada no intervalo (a, b) é côncava se a função estiver localizada abaixo de todas as suas tangentes dentro desse intervalo.
- A função f(x) estudada no intervalo (a, b) é convexa se a função está localizada acima de todas as suas tangentes dentro deste intervalo.
O ponto que separa a convexidade da concavidade é chamado de ponto de inflexão da função.
Para encontrar pontos de inflexão:
- Encontre pontos críticos do segundo tipo (segunda derivada).
- Pontos de inflexão são os pontos críticos que separam dois sinais opostos.
- Calcule os valores da função nos pontos de inflexão da função.
Derivadas parciais
Aplicativoexistem derivadas desse tipo em problemas onde mais de uma variável desconhecida é usada. Na maioria das vezes, tais derivadas são encontradas ao traçar um gráfico de função, para ser mais preciso, superfícies no espaço, onde em vez de dois eixos existem três, portanto, três quantidades (duas variáveis e uma constante).
A regra básica ao calcular derivadas parciais é escolher uma variável e tratar o resto como constantes. Portanto, ao calcular a derivada parcial, a constante se torna um valor numérico (em muitas tabelas de derivadas, elas são denotadas como C=const). O significado de tal derivada é a taxa de variação da função z=f(x, y) ao longo dos eixos OX e OY, ou seja, caracteriza a inclinação das depressões e protuberâncias da superfície construída.
Derivada em física
O uso da derivada na física é difundido e importante. Significado físico: a derivada da trajetória em relação ao tempo é a velocidade, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A partir do significado físico, muitos ramos podem ser desenhados para vários ramos da física, preservando completamente o significado da derivada.
Com a ajuda da derivada, os seguintes valores são encontrados:
- Velocidade em cinemática, onde é calculada a derivada da distância percorrida. Se a segunda derivada do caminho ou a primeira derivada da velocidade for encontrada, então a aceleração do corpo é encontrada. Além disso, é possível encontrar a velocidade instantânea de um ponto material, mas para isso é necessário conhecer o incremento ∆t e ∆r.
- Em eletrodinâmica:cálculo da força instantânea da corrente alternada, bem como o EMF de indução eletromagnética. Calculando a derivada, você pode encontrar a potência máxima. A derivada da quantidade de carga elétrica é a intensidade da corrente no condutor.
Derivada em química e biologia
Química: A derivada é usada para determinar a velocidade de uma reação química. O significado químico da derivada: função p=p(t), neste caso p é a quantidade de uma substância que entra em uma reação química no tempo t. ∆t - incremento de tempo, ∆p - incremento de quantidade de substância. O limite da razão de ∆p para ∆t, no qual ∆t tende a zero, é chamado de velocidade de uma reação química. O valor médio de uma reação química é a razão ∆p/∆t. Ao determinar a velocidade, é necessário conhecer exatamente todos os parâmetros e condições necessários para conhecer o estado agregado da substância e o meio de fluxo. Este é um aspecto bastante grande na química, que é amplamente utilizado em várias indústrias e atividades humanas.
Biologia: o conceito de derivada é usado para calcular a taxa média de reprodução. Significado biológico: temos uma função y=x(t). ∆t - incremento de tempo. Então, com a ajuda de algumas transformações, obtemos a função y`=P(t)=x`(t) - a atividade vital da população do tempo t (taxa média de reprodução). Esse uso da derivada permite que você mantenha estatísticas, acompanhe a taxa de reprodução e assim por diante.
Derivada em geografia e economia
A derivada permite que os geógrafos decidamtarefas como encontrar população, calcular valores em sismografia, calcular radioatividade de indicadores geofísicos nucleares, calcular interpolação.
Em economia, uma parte importante dos cálculos é o cálculo diferencial e o cálculo da derivada. Em primeiro lugar, isso nos permite determinar os limites dos valores econômicos necessários. Por exemplo, a maior e a menor produtividade do trabalho, custos, lucros. Basicamente, esses valores são calculados a partir de gráficos de funções, onde encontram extremos, determinam a monotonicidade da função na área desejada.
Conclusão
O papel desse cálculo diferencial está envolvido, como observado no artigo, em várias estruturas científicas. O uso de funções derivadas é um elemento importante na parte prática da ciência e da produção. Não é à toa que nos ensinaram no ensino médio e na universidade a construir gráficos complexos, explorar e trabalhar em funções. Como você pode ver, sem derivativos e cálculos diferenciais, seria impossível calcular indicadores e quantidades vitais. A humanidade aprendeu a modelar vários processos e explorá-los, para resolver problemas matemáticos complexos. De fato, a matemática é a rainha de todas as ciências, porque esta ciência está subjacente a todas as outras disciplinas naturais e técnicas.
