A capacidade de calcular o volume de figuras espaciais é importante para resolver vários problemas práticos de geometria. Uma das formas mais comuns é a pirâmide. Neste artigo, consideraremos as fórmulas para o volume da pirâmide, tanto cheia quanto truncada.
Pirâmide como figura tridimensional
Todo mundo conhece as pirâmides egípcias, então eles têm uma boa ideia de qual figura será discutida. No entanto, as estruturas de pedra egípcias são apenas um caso especial de uma enorme classe de pirâmides.
O objeto geométrico considerado no caso geral é uma base poligonal, cada vértice do qual está conectado a algum ponto no espaço que não pertence ao plano base. Esta definição leva a uma figura que consiste em um n-gon e n triângulos.
Qualquer pirâmide consiste em n+1 faces, 2n arestas e n+1 vértices. Como a figura em questão é um poliedro perfeito, o número de elementos marcados obedece à igualdade de Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
O polígono na base dá o nome da pirâmide,por exemplo, triangular, pentagonal e assim por diante. Um conjunto de pirâmides com bases diferentes é mostrado na foto abaixo.
O ponto em que n triângulos da figura são conectados é chamado de topo da pirâmide. Se uma perpendicular é baixada dela até a base e a cruza no centro geométrico, essa figura será chamada de linha reta. Se esta condição não for atendida, então existe uma pirâmide inclinada.
Uma figura reta cuja base é formada por um n-gon equilátero (equiangular) é chamada de regular.
Fórmula do volume da pirâmide
Para calcular o volume da pirâmide, usamos o cálculo integral. Para fazer isso, dividimos a figura por planos secantes paralelos à base em um número infinito de camadas finas. A figura abaixo mostra uma pirâmide quadrangular com altura h e comprimento de lado L, na qual uma fina camada de seção é marcada com um quadrilátero.
A área de cada camada pode ser calculada usando a fórmula:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Aqui A0 é a área da base, z é o valor da coordenada vertical. Pode-se ver que se z=0, então a fórmula dá o valor A0.
Para obter a fórmula do volume de uma pirâmide, você deve calcular a integral sobre toda a altura da figura, ou seja:
V=∫h0(A(z)dz).
Substituindo a dependência A(z) e calculando a primitiva, chegamos à expressão:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Temos a fórmula para o volume da pirâmide. Para encontrar o valor de V, basta multiplicar a altura da figura pela área da base e depois dividir o resultado por três.
Observe que a expressão resultante é válida para calcular o volume de uma pirâmide de tipo arbitrário. Ou seja, pode ser inclinado e sua base pode ser um n-gon arbitrário.
A pirâmide correta e seu volume
A fórmula geral de volume obtida no parágrafo acima pode ser refinada no caso de uma pirâmide com a base correta. A área de tal base é calculada usando a seguinte fórmula:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Aqui L é o comprimento do lado de um polígono regular com n vértices. O símbolo pi é o número pi.
Substituindo a expressão para A0 na fórmula geral, obtemos o volume de uma pirâmide regular:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Por exemplo, para uma pirâmide triangular, esta fórmula leva à seguinte expressão:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Para uma pirâmide quadrangular regular, a fórmula do volume se torna:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Determinar o volume de pirâmides regulares requer conhecer o lado de sua base e a altura da figura.
Pirâmide truncada
Suponha que pegamosuma pirâmide arbitrária e cortar uma parte de sua superfície lateral contendo o topo. A figura restante é chamada de pirâmide truncada. Já consiste em duas bases n-gonais e n trapézios que as conectam. Se o plano de corte era paralelo à base da figura, uma pirâmide truncada é formada com bases paralelas semelhantes. Ou seja, os comprimentos dos lados de um deles podem ser obtidos multiplicando os comprimentos do outro por algum coeficiente k.
A imagem acima mostra uma pirâmide hexagonal regular truncada. Pode-se observar que sua base superior, assim como a inferior, é formada por um hexágono regular.
A fórmula para o volume de uma pirâmide truncada, que pode ser derivada usando um cálculo integral semelhante ao dado, é:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Onde A0 e A1 são as áreas das bases inferior (grande) e superior (pequena), respectivamente. A variável h é a altura da pirâmide truncada.
O volume da pirâmide de Quéops
É interessante resolver o problema de determinar o volume que a maior pirâmide egípcia contém em seu interior.
Em 1984, os egiptólogos britânicos Mark Lehner e Jon Goodman estabeleceram as dimensões exatas da pirâmide de Quéops. Sua altura original era de 146,50 metros (atualmente cerca de 137 metros). O comprimento médio de cada um dos quatro lados da estrutura foi de 230,363 metros. A base da pirâmide é quadrada com alta precisão.
Vamos usar os números dados para determinar o volume deste gigante de pedra. Como a pirâmide é quadrangular regular, então a fórmula é válida para ela:
V4=1/3L2h.
Substituindo os números, obtemos:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
O volume da pirâmide de Quéops é de quase 2,6 milhões de m3. Para efeito de comparação, notamos que a piscina olímpica tem um volume de 2,5 mil m3. Ou seja, para preencher toda a pirâmide de Quéops, serão necessários mais de 1000 desses pools!
