Resolver equações em matemática tem um lugar especial. Este processo é precedido por muitas horas de estudo da teoria, durante as quais o aluno aprende a resolver equações, determinar sua forma e levar a habilidade ao automatismo total. No entanto, a busca por raízes nem sempre faz sentido, pois elas podem simplesmente não existir. Existem métodos especiais para encontrar raízes. Neste artigo, analisaremos as principais funções, seus escopos, bem como os casos em que suas raízes estão ausentes.
Qual equação não tem raízes?
Uma equação não tem raízes se não existem tais argumentos reais x para os quais a equação é identicamente verdadeira. Para um não especialista, essa formulação, como a maioria dos teoremas e fórmulas matemáticas, parece muito vaga e abstrata, mas isso é na teoria. Na prática, tudo se torna extremamente simples. Por exemplo: a equação 0x=-53 não tem solução, pois não existe tal número x, cujo produto com zero daria algo diferente de zero.
Agora veremos os tipos mais básicos de equações.
1. Equação linear
Uma equação é chamada linear se suas partes direita e esquerda são representadas como funções lineares: ax + b=cx + d ou de forma generalizada kx + b=0. Onde a, b, c, d são conhecidos números e x é uma quantidade desconhecida. Qual equação não tem raízes? Exemplos de equações lineares são mostrados na ilustração abaixo.
Basicamente, equações lineares são resolvidas simplesmente movendo a parte numérica para uma parte e o conteúdo de x para a outra. Acontece uma equação da forma mx \u003d n, onde m e n são números e x é uma incógnita. Para encontrar x, basta dividir ambas as partes por m. Então x=n/m. Basicamente, as equações lineares têm apenas uma raiz, mas há casos em que existem infinitas raízes ou nenhuma. Com m=0 e n=0, a equação assume a forma 0x=0. Absolutamente qualquer número será a solução para tal equação.
Mas qual equação não tem raízes?
Quando m=0 e n=0, a equação não tem raízes do conjunto dos números reais. 0x=-1; 0x=200 - essas equações não têm raízes.
2. Equação quadrática
Uma equação quadrática é uma equação da forma ax2 + bx + c=0 para a=0. A maneira mais comum de resolver uma equação quadrática é resolvê-la através do discriminante. A fórmula para encontrar o discriminante de uma equação quadrática: D=b2 - 4ac. Então existem duas raízes x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Quando D > 0 a equação tem duas raízes, quando D=0 - uma raiz. Mas qual equação quadrática não tem raízes?A maneira mais fácil de observar o número de raízes de uma equação quadrática é no gráfico de uma função, que é uma parábola. Em > 0 os ramos são direcionados para cima, em < 0 os ramos são abaixados. Se o discriminante for negativo, tal equação quadrática não tem raízes no conjunto dos números reais.
Você também pode determinar visualmente o número de raízes sem calcular o discriminante. Para fazer isso, você precisa encontrar o topo da parábola e determinar em qual direção os ramos são direcionados. Você pode determinar a coordenada x de um vértice usando a fórmula: x0 =-b / 2a. Neste caso, a coordenada y do vértice é encontrada simplesmente substituindo o valor x0 na equação original.
A equação quadrática x2 – 8x + 72=0 não tem raízes porque tem um discriminante negativo D=(–8)2 - 4172=-224. Isso significa que a parábola não toca o eixo x e a função nunca assume o valor 0, portanto, a equação não tem raízes reais.
3. Equações trigonométricas
Funções trigonométricas são consideradas em um círculo trigonométrico, mas também podem ser representadas em um sistema de coordenadas cartesianas. Neste artigo, veremos duas funções trigonométricas básicas e suas equações: senx e cosx. Como essas funções formam um círculo trigonométrico de raio 1, |sinx| e |cosx| não pode ser maior que 1. Então, qual equação senx não tem raízes? Considere o gráfico da função sinx apresentada na figuraabaixo.
Vemos que a função é simétrica e tem um período de repetição de 2pi. Com base nisso, podemos dizer que o valor máximo dessa função pode ser 1 e o mínimo -1. Por exemplo, a expressão cosx=5 não terá raízes, pois seu módulo é maior que um.
Este é o exemplo mais simples de equações trigonométricas. Na verdade, a solução deles pode levar muitas páginas, ao final das quais você percebe que usou a fórmula errada e precisa começar tudo de novo. Às vezes, mesmo com a descoberta correta das raízes, você pode esquecer de levar em consideração as restrições da ODZ, razão pela qual uma raiz ou intervalo extra aparece na resposta e toda a resposta se torna errônea. Portanto, siga rigorosamente todas as restrições, pois nem todas as raízes se encaixam no escopo da tarefa.
4. Sistemas de Equações
Um sistema de equações é um conjunto de equações combinadas com colchetes ou colchetes. Chaves denotam a execução conjunta de todas as equações. Ou seja, se pelo menos uma das equações não tem raízes ou contradiz a outra, todo o sistema não tem solução. Os colchetes denotam a palavra "ou". Isso significa que se pelo menos uma das equações do sistema tiver uma solução, então todo o sistema terá uma solução.
A resposta do sistema com colchetes é a totalidade de todas as raízes das equações individuais. E sistemas com chaves têm apenas raízes comuns. Sistemas de equações podem incluir funções absolutamente diversas, então essa complexidade não épermite que você diga imediatamente qual equação não tem raízes.
Generalização e dicas para encontrar as raízes da equação
Em livros de problemas e livros didáticos existem diferentes tipos de equações: as que têm raízes e as que não as têm. Em primeiro lugar, se você não consegue encontrar raízes, não pense que elas não existem. Você pode ter cometido um erro em algum lugar, então verifique novamente sua solução.
Cobrimos as equações mais básicas e seus tipos. Agora você pode dizer qual equação não tem raízes. Na maioria dos casos, isso não é nada difícil de fazer. Para obter sucesso na resolução de equações, apenas atenção e concentração são necessárias. Pratique mais, isso o ajudará a navegar pelo material muito melhor e mais rápido.
Então, a equação não tem raízes se:
- na equação linear mx=n o valor m=0 e n=0;
- em uma equação quadrática se o discriminante for menor que zero;
- em uma equação trigonométrica da forma cosx=m / sinx=n, se |m| > 0, |n| > 0;
- em um sistema de equações com colchetes se pelo menos uma equação não tiver raízes, e com colchetes se todas as equações não tiverem raízes.
