Pirâmide triangular e fórmulas para determinar sua área

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Pirâmide é uma figura espacial geométrica, cujas características são estudadas no ensino médio no curso de geometria sólida. Neste artigo, consideraremos uma pirâmide triangular, seus tipos, bem como fórmulas para calcular sua área de superfície.

De qual pirâmide estamos falando?

Uma pirâmide triangular é uma figura que pode ser obtida ligando todos os vértices de um triângulo arbitrário com um único ponto que não está no plano desse triângulo. De acordo com esta definição, a pirâmide em consideração deve consistir em um triângulo inicial, que é chamado de base da figura, e três triângulos laterais que têm um lado comum com a base e estão conectados entre si por um ponto. Este último é chamado de topo da pirâmide.

A imagem acima mostra uma pirâmide triangular arbitrária.

A figura considerada pode ser oblíqua ou reta. Neste último caso, a perpendicular baixada do topo da pirâmide até sua base deve intersectá-la no centro geométrico. o centro geométrico de qualquertriângulo é o ponto de intersecção de suas medianas. O centro geométrico coincide com o centro de massa da figura em física.

Se um triângulo regular (equilátero) está na base de uma pirâmide reta, então ele é chamado de triângulo regular. Em uma pirâmide regular, todos os lados são iguais entre si e são triângulos equiláteros.

Se a altura de uma pirâmide regular é tal que seus triângulos laterais se tornam equiláteros, então ela é chamada de tetraedro. Em um tetraedro, todas as quatro faces são iguais entre si, então cada uma delas pode ser considerada uma base.

Elementos de pirâmide

Esses elementos incluem as faces ou lados de uma figura, suas arestas, vértices, altura e apótemas.

Como mostrado, todos os lados de uma pirâmide triangular são triângulos. Seu número é 4 (3 lados e um na base).

Os vértices são os pontos de interseção dos três lados triangulares. Não é difícil adivinhar que para a pirâmide em questão existem 4 deles (3 pertencem à base e 1 ao topo da pirâmide).

As arestas podem ser definidas como linhas que cruzam dois lados triangulares, ou como linhas que conectam a cada dois vértices. O número de arestas corresponde ao dobro do número de vértices da base, ou seja, para uma pirâmide triangular é 6 (3 arestas pertencem à base e 3 arestas são formadas pelas faces laterais).

Altura, como observado acima, é o comprimento da perpendicular traçada do topo da pirâmide até sua base. Se desenharmos as alturas deste vértice para cada lado da base triangular,então eles serão chamados apotems (ou apotems). Assim, a pirâmide triangular tem uma altura e três apótemas. Os últimos são iguais entre si para uma pirâmide regular.

A base da pirâmide e sua área

Como a base da figura considerada é geralmente um triângulo, para calcular sua área basta encontrar sua altura h_o e o comprimento do lado da base a, no qual é abaixado. A fórmula da área S_o da base é:

S_o=1/2h_oa

Se o triângulo da base for equilátero, então a área da base da pirâmide triangular é calculada usando a seguinte fórmula:

S_o=√3/4a²

Ou seja, a área S_oé exclusivamente determinada pelo comprimento do lado a da base triangular.

Lado e área total da figura

Antes de considerar a área de uma pirâmide triangular, é útil mostrar seu desenvolvimento. Ela está na foto abaixo.

A área dessa varredura formada por quatro triângulos é a área total da pirâmide. Um dos triângulos corresponde à base, cuja fórmula para o valor considerado foi escrita acima. Três faces triangulares laterais juntas formam a área lateral da figura. Portanto, para determinar esse valor, basta aplicar a fórmula acima para um triângulo arbitrário a cada um deles e depois somar os três resultados.

Se a pirâmide estiver correta, então o cálculoa área de superfície lateral é facilitada, uma vez que todas as faces laterais são triângulos equiláteros idênticos. Denote h_bo comprimento do apótema, então a área da superfície lateral S_b pode ser determinada da seguinte forma:

S_b=3/2ah_b

Esta fórmula segue da expressão geral para a área de um triângulo. O número 3 apareceu nos numeradores devido ao fato da pirâmide ter três faces laterais.

Apotema h_b em uma pirâmide regular pode ser calculada se a altura da figura h for conhecida. Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:

h_b=√(h²+ a²/12)

Obviamente, a área total S da superfície da figura é igual à soma das áreas do lado e da base:

S=S_o+ S_b

Para uma pirâmide regular, substituindo todos os valores conhecidos, obtemos a fórmula:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

A área de uma pirâmide triangular depende apenas do comprimento do lado de sua base e da altura.

Exemplo de problema

Sabe-se que a aresta lateral de uma pirâmide triangular é de 7 cm e o lado da base é de 5 cm. Você precisa encontrar a área da superfície da figura se souber que a pirâmide é regular.

Use uma igualdade geral:

S=S_o+ S_b

Área S_oé igual a:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Para determinar a área da superfície lateral, você precisa encontrar o apotema. Não é difícil mostrar que através do comprimento da aresta lateral a_b é determinado pela fórmula:

h_b=√(a_b²-a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Então a área de S_b é:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

A área total da pirâmide é:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86cm².

Observe que ao resolver o problema, não usamos o valor da altura da pirâmide nos cálculos.