Na prática, muitas vezes surgem tarefas que exigem a capacidade de construir seções de formas geométricas de várias formas e encontrar a área das seções. Neste artigo, veremos como seções importantes de um prisma, pirâmide, cone e cilindro são construídas e como calcular suas áreas.
figuras 3D
Da estereometria sabe-se que uma figura tridimensional de absolutamente qualquer tipo é limitada por um número de superfícies. Por exemplo, para poliedros como um prisma e uma pirâmide, essas superfícies são os lados poligonais. Para um cilindro e um cone, estamos falando de superfícies de revolução de figuras cilíndricas e cônicas.
Se pegarmos um plano e cruzarmos arbitrariamente a superfície de uma figura tridimensional, obteremos uma seção. Sua área é igual à área da parte do plano que ficará dentro do volume da figura. O valor mínimo desta área é zero, que se realiza quando o plano toca a figura. Por exemplo, uma seção formada por um único ponto é obtida se o plano passar pelo topo de uma pirâmide ou cone. O valor máximo da área da seção transversal dependea posição relativa da figura e o plano, bem como a forma e o tamanho da figura.
Abaixo, consideraremos como calcular a área de seções formadas para duas figuras de revolução (cilindro e cone) e dois poliedros (pirâmide e prisma).
Cilindro
Cilindro circular é uma figura de rotação de um retângulo em torno de qualquer um de seus lados. O cilindro é caracterizado por dois parâmetros lineares: raio da base r e altura h. O diagrama abaixo mostra como é um cilindro circular reto.
Existem três tipos de seção importantes para esta figura:
- round;
- retangular;
- elíptico.
Elíptica é formada como resultado do plano que intercepta a superfície lateral da figura em algum ângulo com sua base. Redondo é o resultado da interseção do plano de corte da superfície lateral paralela à base do cilindro. Finalmente, obtém-se um retangular se o plano de corte for paralelo ao eixo do cilindro.
Área circular é calculada pela fórmula:
S1=pir2
A área da seção axial, ou seja, retangular, que passa pelo eixo do cilindro, é definida da seguinte forma:
S2=2rh
Seções de cone
Um cone é uma figura de rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. O cone tem um topo e uma base redonda. Seus parâmetros também são o raio r e a altura h. Um exemplo de um cone de papel é mostrado abaixo.
Existem vários tipos de seções cônicas. Vamos listá-los:
- round;
- elíptica;
- parabólica;
- hiperbólico;
- triangular.
Eles se substituem se você aumentar o ângulo de inclinação do plano secante em relação à base redonda. A maneira mais fácil é escrever as fórmulas para a área da seção transversal de circular e triangular.
Uma seção circular é formada como resultado da interseção de uma superfície cônica com um plano paralelo à base. Para sua área, a seguinte fórmula é válida:
S1=pir2z2/h 2
Aqui z é a distância do topo da figura até a seção formada. Pode-se ver que se z=0, então o plano passa apenas pelo vértice, então a área S1 será igual a zero. Desde z < h, a área do trecho em estudo será sempre menor que seu valor para a base.
Triangular é obtido quando o plano intercepta a figura ao longo de seu eixo de rotação. A forma da seção resultante será um triângulo isósceles, cujos lados são o diâmetro da base e dois geradores do cone. Como encontrar a área da seção transversal de um triângulo? A resposta a esta pergunta será a seguinte fórmula:
S2=rh
Esta igualdade é obtida aplicando a fórmula da área de um triângulo arbitrário através do comprimento de sua base e altura.
Seções de Prisma
Prism é uma grande classe de figuras que se caracterizam pela presença de duas bases poligonais idênticas paralelas entre si,ligados por paralelogramos. Qualquer seção de um prisma é um polígono. Dada a diversidade das figuras consideradas (prismas oblíquos, retos, n-gonais, regulares, côncavos), a variedade de suas seções também é grande. Abaixo, consideramos apenas alguns casos especiais.
Se o plano de corte for paralelo à base, a área da seção transversal do prisma será igual à área dessa base.
Se o plano passa pelos centros geométricos das duas bases, ou seja, é paralelo às arestas laterais da figura, forma-se um paralelogramo na seção. No caso de prismas retos e regulares, a vista de seção considerada será um retângulo.
Pirâmide
Pirâmide é outro poliedro que consiste em um n-gon e n triângulos. Um exemplo de uma pirâmide triangular é mostrado abaixo.
Se a seção for traçada por um plano paralelo à base n-gonal, então sua forma será exatamente igual à forma da base. A área de tal seção é calculada pela fórmula:
S1=So(h-z)2/h 2
Onde z é a distância da base ao plano de corte, So é a área da base.
Se o plano de corte contém o topo da pirâmide e cruza sua base, então temos uma seção triangular. Para calcular sua área, você deve consultar o uso da fórmula apropriada para um triângulo.
