As figuras geométricas no espaço são objeto de estudo da estereometria, cujo curso é passado por escolares no ensino médio. Este artigo é dedicado a um poliedro tão perfeito quanto um prisma. Vamos considerar com mais detalhes as propriedades de um prisma e dar as fórmulas que servem para descrevê-los quantitativamente.
O que é um prisma?
Todo mundo imagina como é uma caixa ou cubo. Ambas as figuras são prismas. No entanto, a classe de prismas é muito mais diversificada. Em geometria, esta figura recebe a seguinte definição: um prisma é qualquer poliedro no espaço, formado por dois lados poligonais paralelos e idênticos e vários paralelogramos. As faces paralelas idênticas de uma figura são chamadas de suas bases (superior e inferior). Os paralelogramos são as faces laterais da figura, conectando os lados da base entre si.
Se a base for representada por um n-gon, onde n é um inteiro, então a figura consistirá de 2+n faces, 2n vértices e 3n arestas. Faces e arestas referem-se aum de dois tipos: ou pertencem à superfície lateral ou às bases. Quanto aos vértices, todos são iguais e pertencem às bases do prisma.
Tipos de figuras da classe em estudo
Estudando as propriedades de um prisma, você deve listar os tipos possíveis desta figura:
- Convexo e côncavo. A diferença entre eles está na forma da base poligonal. Se for côncava, também será uma figura tridimensional e vice-versa.
- Reto e oblíquo. Para um prisma reto, as faces laterais são retângulos ou quadrados. Em uma figura oblíqua, as faces laterais são paralelogramos de um tipo geral ou losangos.
- Errado e certo. Para que a figura a ser estudada seja correta, ela deve ser reta e ter a base correta. Um exemplo deste último são figuras planas como um triângulo equilátero ou um quadrado.
O nome do prisma é formado levando em consideração a classificação listada. Por exemplo, o paralelepípedo ou cubo de ângulo reto mencionado acima é chamado de prisma quadrangular regular. Prismas regulares, devido à sua alta simetria, são convenientes para estudar. Suas propriedades são expressas na forma de fórmulas matemáticas específicas.
Área do prisma
Ao considerar tal propriedade de um prisma como sua área, eles significam a área total de todas as suas faces. É mais fácil imaginar esse valor se você desdobrar a figura, ou seja, expandir todas as faces em um plano. Abaixo emA figura mostra um exemplo de varredura de dois prismas.
Para um prisma arbitrário, a fórmula para a área de sua varredura na forma geral pode ser escrita da seguinte forma:
S=2So+ bPsr.
Vamos explicar a notação. O valor So é a área de uma base, b é o comprimento da aresta lateral, Psr é o perímetro de corte, que é perpendicular aos paralelogramos laterais da figura.
A fórmula escrita é frequentemente usada para determinar as áreas de prismas inclinados. No caso de um prisma regular, a expressão para S assumirá uma forma específica:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
O primeiro termo na expressão representa a área das duas bases de um prisma regular, o segundo termo é a área dos retângulos laterais. Aqui a é o comprimento do lado de um n-gon regular. Observe que o comprimento da aresta lateral b para um prisma regular também é sua altura h, então na fórmula b pode ser substituído por h.
Como calcular o volume de uma figura?
Prism é um poliedro relativamente simples com alta simetria. Portanto, para determinar seu volume, existe uma fórmula muito simples. Fica assim:
V=Soh.
Calcular a área e a altura da base pode ser complicado quando se olha para uma forma irregular oblíqua. Este problema é resolvido usando análise geométrica sequencial envolvendo informações sobre os ângulos diedros entre os paralelogramos laterais e a base.
Se o prisma estiver correto entãoa fórmula para V torna-se bastante concreta:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Como você pode ver, a área S e o volume V para um prisma regular são determinados exclusivamente se dois de seus parâmetros lineares forem conhecidos.
Prisma regular triangular
Vamos terminar o artigo considerando as propriedades de um prisma triangular regular. É formado por cinco faces, sendo três retângulos (quadrados) e dois triângulos equiláteros. Um prisma tem seis vértices e nove arestas. Para este prisma, as fórmulas de volume e área de superfície são escritas abaixo:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Além dessas propriedades, também é útil dar uma fórmula para o apótema da base da figura, que é a altura ha de um triângulo equilátero:
ha=√3/2a.
Os lados do prisma são retângulos idênticos. Os comprimentos de suas diagonais d são:
d=√(a2+ h2).
O conhecimento das propriedades geométricas de um prisma triangular é de interesse não apenas teórico, mas também prático. O fato é que esta figura, feita de vidro óptico, é usada para estudar o espectro de radiação dos corpos.
Passando por um prisma de vidro, a luz é decomposta em várias cores componentes como resultado do fenômeno de dispersão, que cria condições para estudar a composição espectral de um fluxo eletromagnético.
