O volume de uma pirâmide quadrangular regular. Fórmula e exemplos de tarefas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Ao estudar absolutamente qualquer figura espacial, é importante saber como calcular seu volume. Este artigo fornece uma fórmula para o volume de uma pirâmide quadrangular regular e também mostra como essa fórmula deve ser usada usando um exemplo de solução de problemas.

De qual pirâmide estamos falando?

Todo estudante do ensino médio sabe que uma pirâmide é um poliedro composto por triângulos e um polígono. Este último é a base da figura. Os triângulos têm um lado comum com a base e se cruzam em um único ponto, que é o topo da pirâmide.

Cada pirâmide é caracterizada pelo comprimento dos lados da base, o comprimento das arestas laterais e a altura. Este último é um segmento perpendicular, rebaixado até a base a partir do topo da figura.

Uma pirâmide quadrangular regular é uma figura de base quadrada, cuja altura intercepta esse quadrado em seu centro. Talvez o exemplo mais famoso desse tipo de pirâmide sejam as antigas estruturas de pedra egípcias. Abaixo está uma fotopirâmides de Quéops.

A figura em estudo possui cinco faces, quatro das quais são triângulos isósceles idênticos. Caracteriza-se também por cinco vértices, quatro dos quais pertencem à base e oito arestas (4 arestas da base e 4 arestas das faces laterais).

A fórmula para o volume de uma pirâmide quadrangular está correta

O volume da figura em questão é uma parte do espaço que é limitada por cinco lados. Para calcular esse volume, usamos a seguinte dependência da área de uma fatia paralela à base da pirâmide S_z na coordenada vertical z:

S_z=S_o (h - z/h)²

Aqui S_o é a área da base quadrada. Se substituirmos z=h na expressão escrita, obteremos um valor zero para S_z. Esse valor de z corresponde a uma fatia que conterá apenas o topo da pirâmide. Se z=0, obtemos o valor da área de base S_o.

É fácil encontrar o volume de uma pirâmide se você conhece a função S_z(z), para isso basta cortar a figura em um número infinito de camadas paralelas à base e, em seguida, realizar a operação de integração. Eu sigo esta técnica, temos:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Porque S₀ éa área da base quadrada, então, denotando o lado do quadrado com a letra a, obtemos a fórmula para o volume de uma pirâmide quadrangular regular:

V=1/3a²h.

Agora vamos usar exemplos de resolução de problemas para mostrar como essa expressão deve ser aplicada.

O problema de determinar o volume de uma pirâmide através de seu apótema e aresta lateral

O apótema de uma pirâmide é a altura de seu triângulo lateral, que é abaixado até o lado da base. Como todos os triângulos são iguais em uma pirâmide regular, seus apótemas também serão os mesmos. Vamos denotar seu comprimento pelo símbolo h_b. Denote a aresta lateral como b.

Sabendo que o apótema da pirâmide mede 12 cm e sua aresta lateral mede 15 cm, encontre o volume de uma pirâmide quadrangular regular.

A fórmula para o volume da figura escrita no parágrafo anterior contém dois parâmetros: comprimento do lado a e altura h. No momento, não conhecemos nenhum deles, então vamos dar uma olhada em seus cálculos.

O comprimento do lado de um quadrado a é fácil de calcular se você usar o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, em que a hipotenusa é a aresta b e os catetos são o apótema h _b e metade do lado da base a/2. Obtemos:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Substituindo os valores conhecidos da condição, obtemos o valor a=18 cm.

Para calcular a altura h da pirâmide, você pode fazer duas coisas: considerar um retânguloum triângulo com uma aresta lateral hipotenusa ou com um apótema hipotenusa. Ambos os métodos são iguais e envolvem a realização do mesmo número de operações matemáticas. Detenhamo-nos na consideração de um triângulo, onde a hipotenusa é o apótema h_b. As pernas nele serão h e a / 2. Então temos:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 cm.

Agora você pode usar a fórmula para o volume V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 cm ³.

Assim, o volume de uma pirâmide quadrangular regular é de aproximadamente 0,86 litros.

O volume da pirâmide de Quéops

Agora vamos resolver um problema interessante e praticamente importante: encontre o volume da maior pirâmide de Gizé. Sabe-se da literatura que a altura original do edifício era de 146,5 metros, e o comprimento de sua base é de 230,363 metros. Esses números nos permitem aplicar a fórmula para calcular V. Obtemos:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

O valor resultante é quase 2,6 milhões de m³. Este volume corresponde ao volume de um cubo cujo lado é 137,4 metros.