Ângulos diedros da pirâmide e o método de seu cálculo

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Parâmetros lineares típicos de qualquer pirâmide são os comprimentos dos lados de sua base, altura, arestas laterais e apótemas. No entanto, há outra característica associada aos parâmetros observados - este é o ângulo diedro. Considere no artigo o que é e como encontrá-lo.

Pirâmide de figura espacial

Todo aluno tem uma boa ideia do que está em jogo quando ouve a palavra "pirâmide". Ele pode ser construído geometricamente da seguinte forma: selecione um determinado polígono, então fixe um ponto no espaço e conecte-o a cada canto do polígono. A figura tridimensional resultante será uma pirâmide de tipo arbitrário. O polígono que o forma é chamado de base, e o ponto ao qual todos os seus vértices estão ligados é o vértice da figura. A figura abaixo mostra esquematicamente uma pirâmide pentagonal.

Pode-se ver que sua superfície é formada não apenas por um pentágono, mas também por cinco triângulos. Em geral, o número desses triângulos será igual ao númerolados de uma base poligonal.

Ângulos diedros da figura

Quando problemas geométricos são considerados em um plano, qualquer ângulo é formado por duas linhas retas que se cruzam, ou segmentos. No espaço, ângulos diedros são adicionados a esses ângulos lineares, formados pela interseção de dois planos.

Se a definição marcada de um ângulo no espaço for aplicada à figura em questão, então podemos dizer que existem dois tipos de ângulos diedros:

• Na base da pirâmide. É formado pelo plano da base e qualquer uma das faces laterais (triângulo). Isso significa que os ângulos da base da pirâmide são n, onde n é o número de lados do polígono.
• Entre os lados (triângulos). O número desses ângulos diedros também é n peças.

Observe que o primeiro tipo de ângulos considerados é construído nas bordas da base, o segundo tipo - nas bordas laterais.

Como calcular os ângulos de uma pirâmide?

O ângulo linear de um ângulo diedro é a medida deste último. Não é fácil calculá-lo, pois as faces da pirâmide, ao contrário das faces do prisma, não se cruzam em ângulos retos no caso geral. É mais confiável calcular os valores dos ângulos diedros usando as equações do plano na forma geral.

No espaço tridimensional, um plano é dado pela seguinte expressão:

Ax + By + Cz + D=0

Onde A, B, C, D são alguns números reais. A conveniência desta equação é que os três primeiros números marcados são as coordenadas do vetor,que é perpendicular ao plano dado, ou seja:

n¯=[A; B; C]

Se as coordenadas de três pontos pertencentes ao plano são conhecidas, então, tomando o produto vetorial de dois vetores construídos sobre esses pontos, pode-se obter as coordenadas n¯. O vetor n¯ é chamado de guia para o plano.

Segundo a definição, o ângulo diedro formado pela interseção de dois planos é igual ao ângulo linear entre seus vetores de direção. Suponha que temos dois planos cujos vetores normais são iguais:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Para calcular o ângulo φ entre eles, você pode usar a propriedade do produto escalar, então a fórmula correspondente se torna:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Ou na forma de coordenadas:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Vamos mostrar como usar o método acima para calcular ângulos diedros ao resolver problemas geométricos.

Ângulos de uma pirâmide quadrangular regular

Assuma que existe uma pirâmide regular, na base da qual existe um quadrado de lado 10 cm. A altura da figura é12 cm. É necessário calcular quais são os ângulos diedros na base da pirâmide e para seus lados.

Como a figura dada na condição do problema está correta, ou seja, tem alta simetria, então todos os ângulos na base são iguais entre si. Os ângulos formados pelas faces laterais também são os mesmos. Para calcular os ângulos diedros necessários, encontramos os vetores de direção para a base e os dois planos laterais. Denote o comprimento do lado da base pela letra a, e a altura h.

A imagem acima mostra uma pirâmide quadrangular regular. Vamos escrever as coordenadas dos pontos A, B, C e D de acordo com o sistema de coordenadas inserido:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Agora encontramos os vetores de direção para os planos de base ABC e os dois lados ABD e BCD de acordo com o método descrito no parágrafo acima:

Para ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Para ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Para BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Agora resta aplicar a fórmula apropriada para o ângulo φ e substituir os valores de lado e altura do enunciado do problema:

Ângulo entre ABC eABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^o

Ângulo entre ABD e BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Calculamos os valores dos ângulos que precisavam ser encontrados pela condição do problema. As fórmulas obtidas na resolução do problema podem ser usadas para determinar os ângulos diedros de pirâmides regulares quadrangulares com quaisquer valores de a e h.

Ângulos de uma pirâmide triangular regular

A figura abaixo mostra uma pirâmide cuja base é um triângulo regular. Sabe-se que o ângulo diedro entre os lados é reto. É necessário calcular a área da base se souber que a altura da figura é de 15 cm.

Um ângulo diedro igual a 90^o é indicado como ABC na figura. Você pode resolver o problema usando o método acima, mas neste caso faremos mais fácil. Vamos denotar o lado do triângulo a, a altura da figura - h, o apotema - h_b e o ladocostela - b. Agora você pode escrever as seguintes fórmulas:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Como os dois triângulos laterais da pirâmide são iguais, os lados AB e CB são iguais e são os catetos do triângulo ABC. Vamos denotar seu comprimento por x, então:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Igualando as áreas dos triângulos laterais e substituindo o apótema na expressão correspondente, temos:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

A área de um triângulo equilátero é calculada da seguinte forma:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Substitua o valor da altura da condição do problema, obtemos a resposta: S=584, 567 cm².