O estudo das propriedades do estado agregado gasoso da matéria é uma das áreas importantes da física moderna. Considerando gases em escala microscópica, pode-se obter todos os parâmetros macroscópicos do sistema. Este artigo revelará uma questão importante da teoria cinética molecular dos gases: qual é a distribuição de Maxwell das moléculas em termos de velocidades.
Histórico
A ideia do gás como um sistema de partículas microscópicas em movimento originou-se na Grécia antiga. A ciência levou mais de 1700 anos para desenvolvê-lo.
O fundador da moderna teoria molecular-cinética (MKT) do gás é justo considerar Daniil Bernoulli. Em 1738 ele publicou um trabalho chamado "Hydrodynamics". Nele, Bernoulli delineou as ideias do MKT que são utilizadas até hoje. Assim, o cientista acreditava que os gases são compostos de partículas que se movem aleatoriamente em todas as direções. Numerosas colisõespartículas com paredes de vasos são percebidas como a presença de pressão nos gases. As velocidades das partículas estão intimamente relacionadas com a temperatura do sistema. A comunidade científica não aceitou as ideias ousadas de Bernoulli porque a lei da conservação da energia ainda não havia sido estabelecida.
Subseqüentemente, muitos cientistas estavam engajados na construção de um modelo cinético de gases. Entre eles, deve-se destacar Rudolf Clausius, que em 1857 criou um modelo de gás simples. Nele, o cientista deu atenção especial à presença de graus de liberdade translacional, rotacional e vibracional nas moléculas.
Em 1859, estudando o trabalho de Clausius, James Maxwell formulou a chamada distribuição de Maxwell sobre velocidades moleculares. De fato, Maxwell confirmou as ideias do MKT, respaldando-as com um aparato matemático. Posteriormente, Ludwig Boltzmann (1871) generalizou as conclusões da distribuição de Maxwell. Ele postulou uma distribuição estatística mais geral de moléculas sobre velocidades e energias. Atualmente é conhecida como distribuição de Maxwell-Boltzmann.
Gás ideal. Postulados básicos do ILC
Para entender o que é a função de distribuição de Maxwell, você precisa entender claramente os sistemas para os quais essa função é aplicável. Estamos falando de um gás ideal. Na física, esse conceito é entendido como uma substância fluida, que consiste em partículas praticamente adimensionais que não possuem energia potencial. Essas partículas se movem em altas velocidades, então seu comportamento é completamente determinado pela energia cinética. Além disso, as distâncias entre as partículas são muito grandes paraem comparação com seus tamanhos, então os últimos são negligenciados.
Os gases ideais são descritos no MKT. Seus principais postulados são os seguintes:
- sistemas de gás são compostos por um grande número de partículas livres;
- partículas se movem aleatoriamente em diferentes velocidades em diferentes direções ao longo de trajetórias retas;
- partículas colidem elasticamente com as paredes do vaso (a probabilidade de as partículas colidirem umas com as outras é baixa devido ao seu pequeno tamanho);
- A temperatura do sistema é determinada exclusivamente pela energia cinética média das partículas, que é preservada no tempo se o equilíbrio termodinâmico for estabelecido no sistema.
Lei de distribuição de Maxwell
Se uma pessoa tivesse um instrumento com o qual fosse possível medir a velocidade de uma única molécula de gás, então, depois de realizar um experimento apropriado, ele ficaria surpreso. O experimento mostraria que cada molécula de qualquer sistema gasoso se move a uma velocidade completamente arbitrária. Neste caso, dentro da estrutura de um sistema em equilíbrio térmico com o ambiente, moléculas muito lentas e muito rápidas seriam detectadas.
A lei de Maxwell de distribuição de velocidade de moléculas de gás é uma ferramenta que permite determinar a probabilidade de detecção de partículas com uma determinada velocidade v no sistema em estudo. A função correspondente fica assim:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Nesta expressão, m -massa da partícula (molécula), k - constante de Boltzmann, T - temperatura absoluta. Assim, se a natureza química das partículas (o valor de m) é conhecida, então a função f(v) é determinada unicamente pela temperatura absoluta. A função f(v) é chamada de densidade de probabilidade. Se tirarmos a integral dela para algum limite de velocidade (v; v+dv), obtemos o número de partículas Ni, que têm velocidades no intervalo especificado. Assim, se tomarmos a integral da densidade de probabilidade f(v) para os limites de velocidade de 0 a ∞, obtemos o número total de moléculas N no sistema.
Representação gráfica da densidade de probabilidade f(v)
A função densidade de probabilidade tem uma forma matemática um tanto complexa, então não é fácil representar seu comportamento em uma dada temperatura. Esse problema pode ser resolvido se você o representar em um gráfico bidimensional. Uma visão esquemática do gráfico de distribuição de Maxwell é mostrada abaixo na figura.
Vemos que começa do zero, pois a velocidade v das moléculas não pode ter valores negativos. O gráfico termina em algum lugar na região de altas velocidades, caindo suavemente para zero (f(∞)->0). A seguinte característica também chama a atenção: a curva suave é assimétrica, diminui mais acentuadamente para pequenas velocidades.
Uma característica importante do comportamento da função densidade de probabilidade f(v) é a presença de um máximo pronunciado sobre ela. De acordo com o significado físico da função, esse máximo corresponde ao valor mais provável das velocidades das moléculas no gássistema.
Velocidades importantes para a função f(v)
A função densidade de probabilidade f(v) e sua representação gráfica nos permitem definir três tipos importantes de velocidade.
O primeiro tipo de velocidade que é óbvio e que foi mencionado acima é a velocidade mais provável v1. No gráfico, seu valor corresponde ao máximo da função f(v). É essa velocidade e valores próximos a ela que terão a maioria das partículas do sistema. Não é difícil calculá-lo, para isso basta tomar a primeira derivada em relação à velocidade da função f(v) e igualá-la a zero. Como resultado dessas operações matemáticas, obtemos o resultado final:
v1=√(2RT/M).
Aqui R é a constante universal do gás, M é a massa molar das moléculas.
O segundo tipo de velocidade é seu valor médio para todas as N partículas. Vamos denotar v2. Ela pode ser calculada integrando a função vf(v) sobre todas as velocidades. O resultado da integração observada será a seguinte fórmula:
v2=√(8RT/(piM)).
Como a razão é 8/pi>2, a velocidade média é sempre ligeiramente superior à mais provável.
Toda pessoa que conhece um pouco de física entende que a velocidade média v2 de moléculas deve ser de grande importância em um sistema de gás. No entanto, esta é uma suposição errônea. Muito mais importante é a velocidade RMS. Vamos denotarv3.
Segundo a definição, a velocidade quadrática média é a soma dos quadrados das velocidades individuais de todas as partículas, dividida pelo número dessas partículas e tomada como a raiz quadrada. Ela pode ser calculada para a distribuição de Maxwell se definirmos a integral sobre todas as velocidades da função v2f(v). A fórmula para a velocidade quadrática média terá a forma:
v3=√(3RT/M).
A igualdade mostra que esta velocidade é maior que v2 e v1 para qualquer sistema de gás.
Assim, todos os tipos de velocidades considerados no gráfico de distribuição de Maxwell estão no extremo ou à direita dele.
Importância de v3
Foi observado acima que a velocidade quadrática média é mais importante para a compreensão dos processos físicos e propriedades de um sistema de gás do que a velocidade média simples v2. Isso é verdade, pois a energia cinética de um gás ideal depende precisamente de v3, e não de v2.
Se considerarmos um gás ideal monoatômico, então a seguinte expressão é verdadeira para ele:
mv32/2=3/2kT.
Aqui, cada parte da equação representa a energia cinética de uma partícula de massa m. Por que a expressão contém exatamente o valor v3, e não a velocidade média v2? Muito simples: ao determinar a energia cinética de cada partícula, sua velocidade individual v é elevada ao quadrado, então todas as velocidadessão somados e divididos pelo número de partículas N. Ou seja, o próprio procedimento para determinar a energia cinética leva ao valor da velocidade quadrática média.
Dependência da função f(v) da temperatura
Nós estabelecemos acima que a densidade de probabilidade das velocidades moleculares depende exclusivamente da temperatura. Como a função mudará se T for aumentado ou diminuído? O gráfico abaixo ajudará a responder a esta pergunta.
Pode-se observar que o aquecimento do sistema fechado leva ao espalhamento do pico e seu deslocamento para velocidades mais altas. Um aumento na temperatura leva a um aumento em todos os tipos de velocidades e a uma diminuição na densidade de probabilidade de cada uma delas. O valor de pico diminui devido à conservação do número de partículas N em um sistema fechado.
A seguir, resolveremos alguns problemas para consolidar o material teórico recebido.
Problema com moléculas de nitrogênio no ar
É necessário calcular as velocidades v1, v2 e v3 para nitrogênio do ar à temperatura de 300 K (cerca de 27 oC).
A massa molar do nitrogênio N2 é 28 g/mol. Usando as fórmulas acima, temos:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problema no tanque de oxigênio
O oxigênio no cilindro estava a uma certa temperatura T1. Em seguida, o balão foi colocado em uma sala mais fria. Como o gráfico de distribuição de velocidade de Maxwell para moléculas de oxigênio mudará quando o sistema chegar ao equilíbrio termodinâmico?
Lembrando a teoria, podemos responder a questão do problema desta forma: os valores de todos os tipos de velocidades das moléculas diminuirão, o pico da função f(v) se deslocará para a esquerda, tornar-se mais estreito e mais alto.
