Transformada de Fourier é uma transformação que compara as funções de alguma variável real. Esta operação é realizada cada vez que percebemos sons diferentes. O ouvido realiza um "cálculo" automático, que nossa consciência é capaz de realizar somente depois de estudar a seção correspondente da matemática superior. O órgão auditivo humano constrói uma transformação, como resultado da qual o som (movimento oscilatório de partículas condicionais em um meio elástico que se propagam em forma de onda em um meio sólido, líquido ou gasoso) é fornecido na forma de um espectro de valores sucessivos do nível de volume de tons de diferentes alturas. Depois disso, o cérebro transforma essa informação em um som familiar para todos.
Transformada Matemática de Fourier
Transformação de ondas sonoras ou outros processos oscilatórios (da radiação luminosa e maré oceânica a ciclos de atividade estelar ou solar) também podem ser realizados usando métodos matemáticos. Assim, usando essas técnicas, é possível decompor funções representando processos oscilatórios como um conjunto de componentes senoidais, ou seja, curvas onduladas quevá de baixo para cima, depois de volta para baixo, como uma onda do mar. Transformada de Fourier - uma transformação cuja função descreve a fase ou amplitude de cada senóide correspondente a uma determinada frequência. A fase é o ponto inicial da curva e a amplitude é sua altura.
A transformada de Fourier (exemplos são mostrados na foto) é uma ferramenta muito poderosa que é usada em vários campos da ciência. Em alguns casos, é usado como meio de resolver equações bastante complexas que descrevem processos dinâmicos que ocorrem sob a influência da luz, energia térmica ou elétrica. Em outros casos, permite determinar os componentes regulares em sinais oscilatórios complexos, graças aos quais você pode interpretar corretamente várias observações experimentais em química, medicina e astronomia.
Histórico
A primeira pessoa a aplicar este método foi o matemático francês Jean Baptiste Fourier. A transformação, mais tarde nomeada em sua homenagem, foi originalmente usada para descrever o mecanismo de condução de calor. Fourier passou toda a sua vida adulta estudando as propriedades do calor. Ele fez uma enorme contribuição para a teoria matemática de determinar as raízes das equações algébricas. Fourier foi professor de análise da Escola Politécnica, secretário do Instituto de Egiptologia, esteve no serviço imperial, onde se destacou durante a construção da estrada para Turim (sob sua liderança, mais de 80 mil quilômetros quadrados de maláriapântanos). No entanto, toda essa atividade vigorosa não impediu o cientista de fazer análises matemáticas. Em 1802, ele derivou uma equação que descreve a propagação do calor em sólidos. Em 1807, o cientista descobriu um método para resolver essa equação, que foi chamado de "transformada de Fourier".
Análise de Condutividade Térmica
O cientista aplicou um método matemático para descrever o mecanismo de condução de calor. Um exemplo conveniente, no qual não há dificuldades de cálculo, é a propagação de energia térmica através de um anel de ferro imerso em uma parte em um incêndio. Para realizar experimentos, Fourier aqueceu uma parte deste anel em brasa e enterrou-a em areia fina. Depois disso, ele fez medições de temperatura no lado oposto dela. Inicialmente, a distribuição do calor é irregular: parte do anel é fria e a outra é quente; pode-se observar um gradiente de temperatura acentuado entre essas zonas. No entanto, no processo de propagação do calor por toda a superfície do metal, ele se torna mais uniforme. Então, logo esse processo toma a forma de uma senóide. A princípio, o gráfico aumenta suavemente e também diminui suavemente, exatamente de acordo com as leis de mudança da função cosseno ou seno. A onda se estabiliza gradualmente e, como resultado, a temperatura se torna a mesma em toda a superfície do anel.
O autor deste método sugeriu que a distribuição irregular inicial pode ser decomposta em várias senoides elementares. Cada um deles terá sua própria fase (posição inicial) e sua própria temperaturamáximo. Além disso, cada um desses componentes muda de um mínimo para um máximo e volta em uma volta completa ao redor do anel um número inteiro de vezes. Um componente com um período era chamado de harmônico fundamental, e um valor com dois ou mais períodos era chamado de segundo, e assim por diante. Assim, a função matemática que descreve a temperatura máxima, fase ou posição é chamada de transformada de Fourier da função de distribuição. O cientista reduziu um único componente, que é difícil de descrever matematicamente, a uma ferramenta fácil de usar - as séries de cossenos e senos, que somam para dar a distribuição original.
A essência da análise
Aplicando essa análise à transformação da propagação do calor através de um objeto sólido de forma anular, o matemático raciocinou que o aumento dos períodos da componente senoidal levaria ao seu rápido decaimento. Isso é visto claramente nos harmônicos fundamental e segundo. Neste último, a temperatura atinge os valores máximo e mínimo duas vezes em uma passagem, e no primeiro, apenas uma vez. Acontece que a distância percorrida pelo calor no segundo harmônico será metade daquela na fundamental. Além disso, o gradiente no segundo também será duas vezes mais acentuado do que no primeiro. Portanto, como o fluxo de calor mais intenso percorre uma distância duas vezes menor, esse harmônico decairá quatro vezes mais rápido que o fundamental em função do tempo. No futuro, esse processo será ainda mais rápido. O matemático acreditava que este método permite calcular o processo da distribuição inicial da temperatura ao longo do tempo.
Desafio aos contemporâneos
O algoritmo da transformada de Fourier desafiou os fundamentos teóricos da matemática na época. No início do século XIX, os cientistas mais proeminentes, incluindo Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre e Biot, não aceitaram sua afirmação de que a distribuição inicial de temperatura é decomposta em componentes na forma de um harmônico fundamental e frequências mais altas. No entanto, a Academia de Ciências não pôde ignorar os resultados obtidos pelo matemático, e lhe concedeu um prêmio pela teoria das leis da condução de calor, além de compará-la com experimentos físicos. Na abordagem de Fourier, a principal objeção era o fato de que a função descontínua é representada pela soma de várias funções senoidais que são contínuas. Afinal, eles descrevem linhas retas e curvas rasgadas. Os contemporâneos do cientista nunca encontraram situação semelhante, quando as funções descontínuas eram descritas por uma combinação de contínuas, como quadrática, linear, senoidal ou exponencial. No caso de o matemático estar certo em suas afirmações, então a soma de uma série infinita de uma função trigonométrica deve ser reduzida a um passo exato. Na época, tal afirmação parecia absurda. No entanto, apesar das dúvidas, alguns pesquisadores (por exemplo, Claude Navier, Sophie Germain) ampliaram o escopo das pesquisas e as levaram além da análise da distribuição de energia térmica. Enquanto isso, os matemáticos continuaram lutando com a questão de saber se a soma de várias funções senoidais pode ser reduzida a uma representação exata de uma função descontínua.
200 anoshistória
Esta teoria evoluiu ao longo de dois séculos, hoje ela finalmente se formou. Com sua ajuda, as funções espaciais ou temporais são divididas em componentes senoidais, que possuem sua própria frequência, fase e amplitude. Esta transformação é obtida por dois métodos matemáticos diferentes. O primeiro deles é usado quando a função original é contínua e o segundo - quando é representado por um conjunto de mudanças individuais discretas. Se a expressão for obtida a partir de valores definidos por intervalos discretos, ela poderá ser dividida em várias expressões senoidais com frequências discretas - da mais baixa e depois duas, três vezes e assim por diante maior que a principal. Essa soma é chamada de série de Fourier. Se a expressão inicial receber um valor para cada número real, ela pode ser decomposta em várias senoidais de todas as frequências possíveis. É comumente chamado de integral de Fourier, e a solução implica transformações integrais da função. Independentemente de como a conversão é obtida, dois números devem ser especificados para cada frequência: amplitude e frequência. Esses valores são expressos como um único número complexo. A teoria das expressões de variáveis complexas, juntamente com a transformada de Fourier, possibilitou a realização de cálculos no projeto de diversos circuitos elétricos, a análise de vibrações mecânicas, o estudo do mecanismo de propagação de ondas e muito mais.
Transformação de Fourier hoje
Hoje, o estudo desse processo se reduz principalmente a encontrarmétodos de transição de uma função para sua forma transformada e vice-versa. Essa solução é chamada de transformada de Fourier direta e inversa. O que isso significa? Para determinar a integral e produzir uma transformada de Fourier direta, pode-se usar métodos matemáticos ou analíticos. Apesar do fato de que certas dificuldades surgem ao usá-las na prática, a maioria das integrais já foi encontrada e incluída em livros de referência matemática. Métodos numéricos podem ser usados para calcular expressões cuja forma é baseada em dados experimentais, ou funções cujas integrais não estão disponíveis em tabelas e são difíceis de apresentar na forma analítica.
Antes do advento dos computadores, os cálculos de tais transformações eram muito tediosos, exigiam a execução manual de um grande número de operações aritméticas, que dependiam do número de pontos que descreviam a função de onda. Para facilitar os cálculos, hoje existem programas especiais que possibilitaram a implementação de novos métodos analíticos. Assim, em 1965, James Cooley e John Tukey criaram um software que ficou conhecido como "Fast Fourier Transform". Permite economizar tempo para cálculos reduzindo o número de multiplicações na análise da curva. O método de transformada rápida de Fourier é baseado na divisão da curva em um grande número de valores de amostra uniformes. Assim, o número de multiplicações é reduzido pela metade com a mesma diminuição no número de pontos.
Aplicando a transformada de Fourier
Issoo processo é usado em vários campos da ciência: em teoria dos números, física, processamento de sinais, combinatória, teoria das probabilidades, criptografia, estatística, oceanologia, óptica, acústica, geometria e outros. As ricas possibilidades de sua aplicação são baseadas em uma série de recursos úteis, que são chamados de "propriedades da transformada de Fourier". Considere-os.
1. A transformação da função é um operador linear e, com a normalização apropriada, é unitária. Esta propriedade é conhecida como teorema de Parseval, ou em geral teorema de Plancherel, ou dualismo de Pontryagin.
2. A transformação é reversível. Além disso, o resultado inverso tem quase a mesma forma da solução direta.
3. Expressões de base senoidal são funções diferenciadas próprias. Isso significa que tal representação muda equações lineares com um coeficiente constante em equações algébricas comuns.
4. De acordo com o teorema da "convolução", esse processo transforma uma operação complexa em uma multiplicação elementar.
5. A transformada discreta de Fourier pode ser calculada rapidamente em um computador usando o método "rápido".
Variedades da transformada de Fourier
1. Na maioria das vezes, esse termo é usado para denotar uma transformação contínua que fornece qualquer expressão quadrada integrável como uma soma de expressões exponenciais complexas com frequências e amplitudes angulares específicas. Esta espécie tem várias formas diferentes, que podemdiferem por coeficientes constantes. O método contínuo inclui uma tabela de conversão, que pode ser encontrada em livros de referência matemática. Um caso generalizado é uma transformação fracionária, por meio da qual o processo dado pode ser elevado à potência real necessária.
2. O modo contínuo é uma generalização da técnica inicial da série de Fourier definida para várias funções ou expressões periódicas que existem em uma área limitada e as representam como séries de senoides.
3. Transformada discreta de Fourier. Este método é usado em tecnologia de computador para cálculos científicos e para processamento digital de sinais. Para realizar este tipo de cálculo, é necessário ter funções que definam pontos individuais, áreas periódicas ou limitadas em um conjunto discreto em vez de integrais de Fourier contínuas. A transformação do sinal neste caso é representada como a soma das senóides. Ao mesmo tempo, o uso do método “rápido” possibilita a aplicação de soluções discretas para quaisquer problemas práticos.
4. A transformada de Fourier em janela é uma forma generalizada do método clássico. Ao contrário da solução padrão, quando se utiliza o espectro do sinal, que é tomado em toda a faixa de existência de uma determinada variável, aqui apenas a distribuição de frequência local é de particular interesse, desde que a variável original (tempo) seja preservada.
5. Transformada de Fourier bidimensional. Este método é usado para trabalhar com matrizes de dados bidimensionais. Neste caso, primeiro a transformação é realizada em uma direção e depois emoutro.
Conclusão
Hoje, o método de Fourier está firmemente enraizado em vários campos da ciência. Por exemplo, em 1962, a forma de dupla hélice do DNA foi descoberta usando análise de Fourier combinada com difração de raios X. Estes últimos foram focados em cristais de fibras de DNA, como resultado, a imagem obtida por difração de radiação foi registrada em filme. Esta imagem forneceu informações sobre o valor da amplitude ao usar a transformada de Fourier para uma determinada estrutura cristalina. Os dados de fase foram obtidos comparando o mapa de difração do DNA com os mapas obtidos a partir da análise de estruturas químicas semelhantes. Como resultado, os biólogos restauraram a estrutura cristalina - a função original.
As transformadas de Fourier desempenham um papel importante no estudo do espaço, física de semicondutores e plasma, acústica de micro-ondas, oceanografia, radar, sismologia e pesquisas médicas.
