As figuras de revolução na geometria recebem atenção especial no estudo de suas características e propriedades. Um deles é um cone truncado. Este artigo visa responder a questão de qual fórmula pode ser usada para calcular a área de um cone truncado.
De qual figura estamos falando?
Antes de descrever a área de um cone truncado, é necessário dar uma definição geométrica exata desta figura. Truncado é um cone, que é obtido como resultado do corte do vértice de um cone comum por um plano. Nesta definição, uma série de nuances devem ser enfatizadas. Primeiro, o plano de corte deve ser paralelo ao plano da base do cone. Em segundo lugar, a figura original deve ser um cone circular. Claro, pode ser uma figura elíptica, hiperbólica e de outro tipo, mas neste artigo nos restringiremos a considerar apenas um cone circular. Este último é mostrado na figura abaixo.
É fácil adivinhar que pode ser obtido não apenas com a ajuda de uma seção por um plano, mas também com a ajuda de uma operação de rotação. PorPara fazer isso, você precisa pegar um trapézio que tenha dois ângulos retos e girá-lo ao redor do lado adjacente a esses ângulos retos. Como resultado, as bases do trapézio se tornarão os raios das bases do cone truncado, e o lado inclinado lateral do trapézio descreverá a superfície cônica.
Desenvolvimento da forma
Considerando a área da superfície de um cone truncado, é útil trazer seu desenvolvimento, ou seja, a imagem da superfície de uma figura tridimensional em um plano. Abaixo está uma varredura da figura estudada com parâmetros arbitrários.
Pode-se ver que a área da figura é formada por três componentes: dois círculos e um segmento circular truncado. Obviamente, para determinar a área necessária, é necessário somar as áreas de todas as figuras nomeadas. Vamos resolver este problema no próximo parágrafo.
Área do cone truncado
Para facilitar a compreensão do seguinte raciocínio, introduzimos a seguinte notação:
- r1, r2 - raios das bases grande e pequena respectivamente;
- h - altura da figura;
- g - geratriz do cone (o comprimento do lado oblíquo do trapézio).
A área das bases de um cone truncado é fácil de calcular. Vamos escrever as expressões correspondentes:
So1=pir12;
So2=pir22.
A área de uma parte de um segmento circular é um pouco mais difícil de determinar. Se imaginarmos que o centro deste setor circular não está recortado, então seu raio será igual ao valor G. Não é difícil calculá-lo se considerarmos o valor correspondentetriângulos cones retângulos semelhantes. É igual a:
G=r1g/(r1-r2).
Então a área de todo o setor circular, que é construído no raio G e que depende de um arco de comprimento 2pir1, será igual para:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Agora vamos determinar a área do pequeno setor circular S2, que precisará ser subtraído de S1. É igual a:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
A área da superfície truncada cônica Sbé igual à diferença entre S1 e S 2. Obtemos:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Apesar de alguns cálculos complicados, obtivemos uma expressão bastante simples para a área da superfície lateral da figura.
Somando as áreas das bases e Sb, chegamos à fórmula da área de um cone truncado:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Assim, para calcular o valor de S da figura estudada, você precisa conhecer seus três parâmetros lineares.
Exemplo de problema
Cone reto circularcom um raio de 10 cm e uma altura de 15 cm foi cortada por um plano de modo a obter um cone truncado regular. Sabendo que a distância entre as bases da figura truncada é de 10 cm, é necessário encontrar sua área de superfície.
Para usar a fórmula da área de um cone truncado, você precisa encontrar três de seus parâmetros. Um que conhecemos:
r1=10 cm.
Os outros dois são fáceis de calcular se considerarmos triângulos retângulos semelhantes, que são obtidos como resultado da seção axial do cone. Levando em conta a condição do problema, obtemos:
r2=105/15=3,33 cm.
Finalmente, a guia do cone truncado g será:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Agora você pode substituir os valores r1, r2 eg na fórmula para S:
S=pir12+ pir2 2+pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
A área de superfície desejada da figura é de aproximadamente 852 cm2.
