Todo aluno já ouviu falar de um cone redondo e imagina como é essa figura tridimensional. Este artigo define o desenvolvimento de um cone, fornece fórmulas que descrevem suas características e descreve como construí-lo usando compasso, transferidor e régua.
Cone circular na geometria
Vamos dar uma definição geométrica desta figura. Um cone redondo é uma superfície formada por segmentos de linha reta que conectam todos os pontos de um determinado círculo com um único ponto no espaço. Este único ponto não deve pertencer ao plano em que se encontra o círculo. Se pegarmos um círculo em vez de um círculo, esse método também leva a um cone.
O círculo é chamado de base da figura, sua circunferência é a diretriz. Os segmentos que ligam o ponto com a diretriz são chamados de geratrizes ou geradores, e o ponto onde eles se cruzam é o vértice do cone.
O cone redondo pode ser reto e oblíquo. Ambas as figuras são mostradas na figura abaixo.
A diferença entre eles é esta: se a perpendicular do topo do cone cair exatamente no centro do círculo, então o cone será reto. Para ele, a perpendicular, que é chamada de altura da figura, faz parte de seu eixo. No caso de um cone oblíquo, a altura e o eixo formam um ângulo agudo.
Devido à simplicidade e simetria da figura, vamos considerar as propriedades de apenas um cone reto com base redonda.
Obtendo uma forma usando rotação
Antes de considerar o desenvolvimento da superfície de um cone, é útil saber como essa figura espacial pode ser obtida usando a rotação.
Suponha que temos um triângulo retângulo com lados a, b, c. Os dois primeiros são catetos, c é a hipotenusa. Vamos colocar um triângulo na perna a e começar a girá-lo em torno da perna b. A hipotenusa c descreverá então uma superfície cônica. Esta técnica simples de cone é mostrada no diagrama abaixo.
Obviamente, o cateto a será o raio da base da figura, o cateto b será sua altura e a hipotenusa c corresponde à geratriz de um cone redondo reto.
Visão do desenvolvimento do cone
Como você pode imaginar, o cone é formado por dois tipos de superfícies. Um deles é um círculo de base plana. Suponha que ele tenha raio r. A segunda superfície é lateral e é chamada de cônica. Seja seu gerador igual a g.
Se tivermos um cone de papel, podemos pegar uma tesoura e cortar a base dele. Em seguida, a superfície cônica deve ser cortadaao longo de qualquer geratriz e implantá-lo no plano. Desta forma, obtivemos um desenvolvimento da superfície lateral do cone. As duas superfícies, juntamente com o cone original, são mostradas no diagrama abaixo.
O círculo base é representado no canto inferior direito. A superfície cônica desdobrada é mostrada no centro. Acontece que ele corresponde a algum setor circular do círculo, cujo raio é igual ao comprimento da geratriz g.
Varredura de ângulo e área
Agora temos fórmulas que, usando os parâmetros conhecidos g e r, nos permitem calcular a área e o ângulo do cone.
Obviamente, o arco do setor circular mostrado acima na figura tem comprimento igual à circunferência da base, ou seja:
l=2pir.
Se o círculo inteiro com raio g fosse construído, então seu comprimento seria:
L=2pig.
Como o comprimento L corresponde a 2pi radianos, então o ângulo sobre o qual o arco l repousa pode ser determinado pela proporção correspondente:
L==>2pi;
l==> φ.
Então o ângulo desconhecido φ será igual a:
φ=2pil/L.
Substituindo as expressões para os comprimentos l e L, chegamos à fórmula do ângulo de desenvolvimento da superfície lateral do cone:
φ=2pir/g.
O ângulo φ aqui é expresso em radianos.
Para determinar a área Sbde um setor circular, usaremos o valor encontrado de φ. Fazemos mais uma proporção, só para as áreas. Temos:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
De onde expressar Sb, e então substitua o valor do ângulo φ. Obtemos:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Para a área de uma superfície cônica, obtivemos uma fórmula bastante compacta. O valor de Sb é igual ao produto de três fatores: pi, o raio da figura e sua geratriz.
Então a área de toda a superfície da figura será igual à soma de Sb e So (circular área básica). Obtemos a fórmula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Construindo uma varredura de um cone no papel
Para completar esta tarefa você vai precisar de um pedaço de papel, um lápis, um transferidor, uma régua e um compasso.
Primeiro de tudo, vamos desenhar um triângulo retângulo com lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, sua rotação em torno do cateto de 3 cm dará o cone desejado. A figura tem r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
A construção de uma varredura começará desenhando um círculo com raio r com um compasso. Seu comprimento será igual a 6pi cm. Agora, ao lado dele, desenharemos outro círculo, mas com raio g. Seu comprimento corresponderá a 10pi cm. Agora precisamos cortar um setor circular de um grande círculo. Seu ângulo φ é:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Agora separamos este ângulo com um transferidor em um círculo de raio g e desenhamos dois raios que limitarão o setor circular.
EntãoAssim, construímos um desenvolvimento do cone com os parâmetros especificados de raio, altura e geratriz.
Um exemplo de resolução de um problema geométrico
Dado um cone redondo e reto. Sabe-se que o ângulo de sua varredura lateral é 120o. É necessário encontrar o raio e a geratriz desta figura, se se sabe que a altura h do cone é 10 cm.
A tarefa não é difícil se lembrarmos que um cone redondo é uma figura de rotação de um triângulo retângulo. Deste triângulo segue uma relação inequívoca entre altura, raio e geratriz. Vamos escrever a fórmula correspondente:
g2=h2+ r2.
A segunda expressão a ser usada na resolução é a fórmula para o ângulo φ:
φ=2pir/g.
Assim, temos duas equações relacionando duas incógnitas (r e g).
Expresse g da segunda fórmula e substitua o resultado na primeira, temos:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Ângulo φ=120o em radianos é 2pi/3. Substituímos este valor, obtemos as fórmulas finais para r e g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Resta substituir o valor da altura e obter a resposta para a questão do problema: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
