O curso de geometria escolar é dividido em duas grandes seções: planimetria e geometria sólida. A estereometria estuda as figuras espaciais e suas características. Neste artigo, veremos o que é um prisma reto e forneceremos fórmulas que descrevem suas propriedades, como comprimentos diagonais, volume e área de superfície.
O que é um prisma?
Quando os alunos são solicitados a nomear a definição de um prisma, eles respondem que esta figura é dois polígonos paralelos idênticos, cujos lados são conectados por paralelogramos. Esta definição é a mais geral possível, pois não impõe condições à forma dos polígonos, à sua disposição mútua em planos paralelos. Além disso, implica a presença de paralelogramos de conexão, cuja classe também inclui um quadrado, um losango e um retângulo. Abaixo você pode ver o que é um prisma quadrangular.
Vemos que um prisma é um poliedro (poliedro) constituído por n + 2lados, 2 × n vértices e 3 × n arestas, onde n é o número de lados (vértices) de um dos polígonos.
Ambos os polígonos são geralmente chamados de bases da figura, as outras faces são os lados do prisma.
O conceito de um prisma reto
Existem diferentes tipos de prismas. Então, eles falam de figuras regulares e irregulares, de prismas triangulares, pentagonais e outros, há figuras convexas e côncavas e, finalmente, são inclinadas e retas. Vamos falar sobre o último com mais detalhes.
Um prisma reto é uma figura da classe estudada de poliedros, todos os quadrantes laterais dos quais têm ângulos retos. Existem apenas dois tipos de quadriláteros - um retângulo e um quadrado.
A forma considerada da figura tem uma propriedade importante: a altura de um prisma reto é igual ao comprimento de sua aresta lateral. Observe que todas as arestas laterais da figura são iguais entre si. Quanto às faces laterais, no caso geral não são iguais entre si. Sua igualdade é possível se, além do prisma ser reto, também for correto.
A figura abaixo mostra uma figura reta com base pentagonal. Pode-se ver que todas as suas faces laterais são retângulos.
Diagonais do prisma e seus parâmetros lineares
As principais características lineares de qualquer prisma são sua altura h e os comprimentos dos lados de sua base ai, onde i=1, …, n. Se a base for um polígono regular, basta conhecer o comprimento a de um lado para descrever suas propriedades. Conhecer os parâmetros lineares marcados nos permitedefinir tais propriedades de uma figura como seu volume ou superfície.
As diagonais de um prisma reto são segmentos que conectam quaisquer dois vértices não adjacentes. Essas diagonais podem ser de três tipos:
- deitado nos planos de base;
- localizado nos planos dos retângulos laterais;
- figuras pertencentes ao volume.
Os comprimentos dessas diagonais relacionadas à base devem ser determinados dependendo do tipo de n-gon.
As diagonais dos retângulos laterais são calculadas usando a seguinte fórmula:
d1i=√(ai2+ h2).
Para determinar as diagonais do volume, você precisa saber o valor do comprimento da diagonal da base e da altura correspondentes. Se alguma diagonal da base é denotada pela letra d0i, então a diagonal do volume d2i é calculada da seguinte forma:
d2i=√(d0i2+ h2).
Por exemplo, no caso de um prisma quadrangular regular, o comprimento da diagonal do volume será:
d2=√(2 × a2+ h2).
Observe que um prisma triangular reto tem apenas um dos três tipos nomeados de diagonais: a diagonal lateral.
Superfície da classe de formas estudada
Área da superfície é a soma das áreas de todas as faces de uma figura. Para visualizar todas as faces, você deve fazer uma varredura do prisma. Como exemplo, tal varredura para uma figura pentagonal é mostrada abaixo.
Vemos que o número de figuras planas é n + 2, e n são retângulos. Para calcular a área de toda a varredura, adicione as áreas de duas bases idênticas e as áreas de todos os retângulos. Então a fórmula correspondente ficará assim:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Esta igualdade mostra que a área da superfície lateral para o tipo de prisma estudado é igual ao produto da altura da figura pelo perímetro de sua base.
A área da base de So pode ser calculada aplicando a fórmula geométrica apropriada. Por exemplo, se a base de um prisma reto for um triângulo retângulo, teremos:
So=a1 × a2 / 2.
Onde a1 e a2 são os catetos do triângulo.
Se a base for um n-gon com ângulos e lados iguais, então a seguinte fórmula será justa:
So=n/4 × ctg (pi/n) × a2.
Fórmula de Volume
Determinar o volume de um prisma de qualquer tipo não é uma tarefa difícil se sua área de base So e altura h forem conhecidas. Multiplicando esses valores juntos, obtemos o volume V da figura, ou seja:
V=So × h.
Como o parâmetro h de um prisma reto é igual ao comprimento da aresta lateral, todo o problema de calcular o volume se resume ao cálculo da área So. Acima nósjá disse algumas palavras e dei algumas fórmulas para determinar So. Aqui notamos apenas que no caso de uma base de formato arbitrário, você deve dividi-la em segmentos simples (triângulos, retângulos), calcular a área de cada um e depois somar todas as áreas para obter S o.
