Como você sabe, ao multiplicar expressões por potências, seus expoentes sempre somam (abac=ab+ c). Essa lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de indicadores inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta dos logaritmos. Exemplos de uso dessa função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde é necessário simplificar a multiplicação complicada para a adição simples. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Linguagem simples e acessível.
Definição em matemática
O logaritmo é uma expressão da seguinte forma: logab=c c" na qual você precisa elevar a base "a" para finalmente obter o valor " b". Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que exista uma expressão log28. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar um grau que de 2 ao grau exigido você obtenha 8. Tendo feito alguns cálculos em sua mente, obtemos o número 3! E é verdade, porque2 elevado à potência de 3 dá a resposta 8.
Variedades de logaritmos
Para muitos alunos e alunas, este tópico parece complicado e incompreensível, mas na verdade, os logaritmos não são tão assustadores, o principal é entender seu significado geral e lembrar suas propriedades e algumas regras. Existem três tipos separados de expressões logarítmicas:
- Logaritmo natural ln a, onde a base é o número de Euler (e=2, 7).
- Logaritmo decimal lg a, onde a base é o número 10.
- Logaritmo de qualquer número b na base a>1.
Cada um deles é resolvido de forma padrão, incluindo simplificação, redução e subsequente redução a um logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar suas propriedades e a ordem das ações para resolvê-los.
Regras e algumas restrições
Em matemática, existem várias regras-restrições que são aceitas como axioma, ou seja, não são negociáveis e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero, e também é impossível tirar uma raiz par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente como trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e espaçosas:
- a base de "a" deve ser sempre maior que zero, e ao mesmo tempo não ser igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois "1" e "0" em qualquer grau são sempre igual aos seus valores;
- se for > 0, então ab>0,acontece que "c" também deve ser maior que zero.
Como resolver logaritmos?
Por exemplo, dada a tarefa de encontrar a resposta para a equação 10x=100. É muito fácil, você precisa escolher tal potência, elevando o número dez, temos obtenha 100. Isso, é claro. Bem, potência quadrática! 102=100.
Agora vamos representar esta expressão como logarítmica. Obtemos log10100=2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar a potência na qual a base do logaritmo deve ser inserida para obter um determinado número.
Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você precisa aprender a trabalhar com a tabela de graus. Fica assim:
Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mentalidade técnica e conhecimento da tabuada. No entanto, valores maiores exigirão uma tabela de potência. Ele pode ser usado até mesmo por aqueles que não entendem nada em tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c, à qual o número a é elevado. Na interseção, as células definem os valores dos números que são a resposta (ac=b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na interseção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista vai entender!
Equações e desigualdades
Acontece que quandoSob certas condições, o expoente é o logaritmo. Portanto, quaisquer expressões numéricas matemáticas podem ser escritas como uma equação logarítmica. Por exemplo, 34=81 pode ser escrito como o logaritmo de 81 na base 3, que é quatro (log381=4). Para graus negativos, as regras são as mesmas: 2-5=1/32 escrito como logaritmo, obtemos log2 (1/32)=-5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico dos "logaritmos". Consideraremos exemplos e soluções de equações um pouco mais abaixo, imediatamente após estudar suas propriedades. Por enquanto, vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.
A seguinte expressão é dada: log2(x-1) > 3 - é uma desigualdade logarítmica, pois o valor desconhecido "x" está sob o sinal da logaritmo. A expressão também compara dois valores: o logaritmo de base dois do número desejado é maior que o número três.
A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (exemplo - logaritmo2x=√9) implicam na resposta um ou mais valores numéricos específicos, enquanto ao resolver uma desigualdade, são determinados o intervalo de valores aceitáveis e os pontos de interrupção dessa função. Como resultado, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta da equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Ao resolver tarefas primitivas para encontrar os valores do logaritmo, você pode não conhecer suas propriedades. No entanto, quando se trata de equações logarítmicas ou desigualdades, antes de tudo, é necessário entender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Vamos nos familiarizar com os exemplos de equações mais tarde, vamos primeiro analisar cada propriedade com mais detalhes.
- A identidade básica é assim: alogaB=B. Aplica-se apenas se a for maior que 0, não igual a um, e B for maior que zero.
- O logaritmo do produto pode ser representado pela seguinte fórmula: logd(s1s2)=logds1 + logds2. Neste caso, a condição obrigatória é: d, s1 e s2 > 0; a≠1. Você pode dar uma prova para esta fórmula de logaritmos, com exemplos e uma solução. Seja logas1 =f1 e logas 2=f2, então af1=s1, a f2=s2. Temos que s1s2 =af1a f2=af1+f2 (propriedades de grau), e ainda por definição: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, que deveria ser provado.
- O logaritmo do quociente fica assim: loga(s1/s2)=logas1- logas2.
- O teorema na forma de uma fórmula tem a seguinte forma: logaqbn =n/q logab.
Esta fórmula é chamada de "propriedade do grau do logaritmo". Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda matemática se baseia em postulados regulares. Vejamos a prova.
Deixe logab=t, obtemos at=b. Se você elevar ambos os lados à potência m: atn=b;
mas porque atn=(aq)nt/q=b , logo logaq bn=(nt)/t, então logaq bn=n/q logab. Teorema provado.
Exemplos de problemas e desigualdades
Os tipos mais comuns de problemas de logaritmo são exemplos de equações e desigualdades. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também estão incluídos na parte obrigatória dos exames de matemática. Para entrar em uma universidade ou passar nos testes de admissão em matemática, você precisa saber como resolver esses problemas corretamente.
Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo, mas certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Em primeiro lugar, você deve descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a uma forma geral. Você pode simplificar expressões logarítmicas longas se usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los em breve.
Ao resolver equações logarítmicas,é necessário determinar que tipo de logaritmo temos diante de nós: um exemplo de expressão pode conter um logaritmo natural ou um decimal.
Aqui estão exemplos de logaritmos decimais: ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que você precisa determinar o grau em que a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para soluções de logaritmos naturais, deve-se aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.
Como usar fórmulas logarítmicas: com exemplos e soluções
Então, vamos ver exemplos de uso dos principais teoremas sobre logaritmos.
- A propriedade do logaritmo do produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário decompor um valor grande do número b em fatores mais simples. Por exemplo, log24 + log2128=log2(4128)=log2512. A resposta é 9.
- log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - como você pode ver, aplicando a quarta propriedade do grau do logaritmo, conseguimos resolver à primeira vista uma expressão complexa e insolúvel. Tudo o que você precisa fazer é fatorar a base e depois tirar a potência do sinal do logaritmo.
Tarefas do exame
Logaritmos são frequentemente encontrados em exames de admissão, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados da escola). Geralmente essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a maisparte do teste fácil do exame), mas também na parte C (as tarefas mais difíceis e volumosas). O exame exige um conhecimento preciso e perfeito do tópico "Logaritmos naturais".
Exemplos e soluções de problemas são retirados das versões oficiais do exame. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.
Logo dado2(2x-1)=4. Solução:
reescreva a expressão, simplificando-a um pouco log2(2x-1)=22, pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1=24, portanto 2x=17; x=8, 5.
Seguindo algumas diretrizes, você pode resolver facilmente todas as equações contendo expressões que estão sob o sinal do logaritmo.
- É melhor reduzir todos os logaritmos à mesma base para que a solução não seja complicada e confusa.
- Todas as expressões abaixo do logaritmo são indicadas como positivas, então ao multiplicar o expoente da expressão que está abaixo do logaritmo e como sua base, a expressão restante abaixo do logaritmo deve ser positiva.
