Métodos para definir as equações de retas no plano e no espaço tridimensional

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

A reta é o principal objeto geométrico no plano e no espaço tridimensional. É a partir de linhas retas que muitas figuras são construídas, por exemplo: um paralelogramo, um triângulo, um prisma, uma pirâmide e assim por diante. Considere no artigo várias maneiras de definir as equações das retas.

Definição de uma reta e tipos de equações para descrevê-la

Cada aluno tem uma boa ideia de qual objeto geométrico está falando. Uma linha reta pode ser representada como uma coleção de pontos e, se conectarmos cada um deles com todos os outros, obteremos um conjunto de vetores paralelos. Em outras palavras, é possível chegar a cada ponto da reta a partir de um de seus pontos fixos, transferindo-o para algum vetor unitário multiplicado por um número real. Esta definição de linha reta é usada para definir uma igualdade vetorial para sua descrição matemática tanto no plano quanto no espaço tridimensional.

Uma linha reta pode ser representada matematicamente pelos seguintes tipos de equações:

geral;
vetor;
paramétrico;
em segmentos;
simétrico (canônico).

A seguir, consideraremos todos os tipos nomeados e mostraremos como trabalhar com eles usando exemplos de resolução de problemas.

Descrição vetorial e paramétrica de uma reta

Vamos começar definindo uma linha reta através de um vetor conhecido. Suponha que haja um ponto fixo no espaço M(x₀; y₀; z_{0). Sabe-se que a reta passa por ela e é direcionada ao longo do segmento vetorial v¯(a; b; c). Como encontrar um ponto arbitrário da linha a partir desses dados? A resposta a esta pergunta dará a seguinte igualdade:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Onde λ é um número arbitrário.

Uma expressão semelhante pode ser escrita para o caso bidimensional, onde as coordenadas dos vetores e pontos são representadas por um conjunto de dois números:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

As equações escritas são chamadas de equações vetoriais, e o próprio segmento direcionado v¯ é o vetor de direção para a linha reta.

A partir das expressões escritas, as equações paramétricas correspondentes são obtidas de forma simples, basta reescrevê-las explicitamente. Por exemplo, para o caso no espaço, obtemos a seguinte equação:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

É conveniente trabalhar com equações paramétricas se você precisar analisar o comportamentocada coordenada. Observe que, embora o parâmetro λ possa assumir valores arbitrários, ele deve ser o mesmo nas três igualdades.

Equação geral

Outra maneira de definir uma linha reta, que é frequentemente usada para trabalhar com o objeto geométrico considerado, é usar uma equação geral. Para o caso bidimensional, fica assim:

Ax + By + C=0

Aqui letras latinas maiúsculas representam valores numéricos específicos. A conveniência dessa igualdade na resolução de problemas reside no fato de que ela contém explicitamente um vetor que é perpendicular a uma linha reta. Se denotarmos por n¯, então podemos escrever:

n¯=[A; B]

Além disso, a expressão é conveniente para determinar a distância de uma linha reta a algum ponto P(x₁; y_{1). A fórmula para a distância d é:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

É fácil mostrar que se expressamos explicitamente a variável y da equação geral, obtemos a seguinte forma bem conhecida de escrever uma linha reta:

y=kx + b

Onde k e b são determinados exclusivamente pelos números A, B, C.

A equação em segmentos e canônica

Intersecção dos eixos coordenados de uma linha reta

A equação em segmentos é mais fácil de obter a partir da visão geral. Mostraremos como fazer isso.

Suponha que temos a seguinte linha:

Ax + By + C=0

Mova o termo livre para o lado direito da igualdade, então divida toda a equação por ele, temos:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, onde q=-C / A, p=-C / B

Temos a chamada equação em segmentos. Recebeu esse nome devido ao fato de que o denominador pelo qual cada variável é dividida mostra o valor da coordenada da interseção da linha com o eixo correspondente. É conveniente usar este fato para representar uma linha reta em um sistema de coordenadas, bem como analisar sua posição relativa em relação a outros objetos geométricos (linhas retas, pontos).

Agora vamos passar para a obtenção da equação canônica. Isso é mais fácil de fazer se considerarmos a opção paramétrica. Para o caso no avião temos:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Expressamos o parâmetro λ em cada igualdade, então os igualamos, temos:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Esta é a equação desejada escrita de forma simétrica. Assim como uma expressão vetorial, ela contém explicitamente as coordenadas do vetor de direção e as coordenadas de um dos pontos que pertencem à linha.

Pode-se ver que neste parágrafo fornecemos equações para o caso bidimensional. Da mesma forma, você pode escrever a equação de uma linha reta no espaço. Deve-se notar aqui que se a forma canônicaregistros e expressão em segmentos terão a mesma forma, então a equação geral no espaço para uma linha reta é representada por um sistema de duas equações para planos de interseção.

O problema de construir a equação de uma reta

De geometria, todo aluno sabe que através de dois pontos você pode desenhar uma única linha. Suponha que os seguintes pontos sejam dados no plano de coordenadas:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

É necessário encontrar a equação da reta a que pertencem ambos os pontos, em segmentos, na forma vetorial, canônica e geral.

Vamos pegar a equação vetorial primeiro. Para fazer isso, defina para o vetor de direção direta M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Agora você pode criar uma equação vetorial tomando um dos dois pontos especificados no enunciado do problema, por exemplo, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Para obter a equação canônica, basta transformar a igualdade encontrada em uma forma paramétrica e excluir o parâmetro λ. Temos:

x=-1 - 2λ, portanto λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, então obtemos λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

As duas equações restantes (geral e em segmentos) podem ser encontradas a partir da canônica transformando-a da seguinte forma:

x + 1=-2y + 6;

equação geral: x + 2y - 5=0;

na equação dos segmentos: x / 5 + y / 2, 5=1

As equações resultantes mostram que o vetor (1; 2) deve ser perpendicular à reta. De fato, se você encontrar seu produto escalar com o vetor de direção, ele será igual a zero. A equação do segmento de linha diz que a linha intercepta o eixo x em (5; 0) e o eixo y em (2, 5; 0).

O problema de determinar o ponto de interseção das linhas

Duas retas são dadas no plano pelas seguintes equações:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

É necessário determinar as coordenadas do ponto onde essas linhas se cruzam.

Existem duas maneiras de resolver o problema:

Transforme a equação vetorial em uma forma geral, então resolva o sistema de duas equações lineares.
Não faça nenhuma transformação, mas simplesmente substitua a coordenada do ponto de interseção, expressa através do parâmetro λ, na primeira equação. Em seguida, encontre o valor do parâmetro.

Vamos fazer a segunda maneira. Temos: