As equações quádricas geralmente aparecem em vários problemas de matemática e física, portanto, todos os alunos devem ser capazes de resolvê-los. Este artigo detalha os principais métodos para resolver equações do segundo grau e também fornece exemplos de seu uso.
Qual equação é chamada quadrática
Primeiro de tudo, vamos responder a pergunta deste parágrafo para entender melhor sobre o que será o artigo. Assim, a equação quadrática tem a seguinte forma geral: c + bx+ax2=0, onde a, b, c são alguns números, que são chamados de coeficientes. Aqui a≠0 é uma condição obrigatória, caso contrário a equação indicada degenera em linear. Os coeficientes restantes (b, c) podem assumir absolutamente quaisquer valores, incluindo zero. Assim, expressões como ax2=0, onde b=0 ec=0, ou c+ax2=0, onde b=0, ou bx+ax2=0, onde c=0 também são equações quadráticas, que são chamadas de incompletas, pois o coeficiente linear b nelas é zero ou zeroé um termo livre c, ou ambos desaparecem.
Uma equação em que a=1 é chamada de reduzida, ou seja, tem a forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
A solução de uma equação quadrática é encontrar tais valores de x que satisfaçam sua igualdade. Esses valores são chamados de raízes. Como a equação em consideração é uma expressão do segundo grau, isso significa que o número máximo de suas raízes não pode exceder dois.
Quais métodos para resolver equações quadradas existem
Em geral, existem 4 métodos de solução. Seus nomes estão listados abaixo:
- Fatoração.
- Adição ao quadrado.
- Usando uma fórmula conhecida (através do discriminante).
- O método de solução é geométrico.
Como você pode ver na lista acima, os três primeiros métodos são algébricos, então eles são usados com mais frequência do que o último, que envolve plotar uma função.
Existe outra maneira de resolver equações quadradas usando o teorema de Vieta. Poderia ser incluído o 5º na lista acima, porém, isso não é feito, pois o teorema de Vieta é uma simples consequência do 3º método.
Mais adiante neste artigo, consideraremos com mais detalhes os métodos de solução nomeados e também daremos exemplos de seu uso para encontrar as raízes de equações específicas.
Método 1. Fatoração
Para este método na matemática de equações quadráticas, há uma belanome: fatoração. A essência deste método é a seguinte: é necessário apresentar a equação quadrática como um produto de dois termos (expressões), que devem ser iguais a zero. Após tal representação, você pode usar a propriedade do produto, que será igual a zero somente quando um ou mais (todos) de seus membros forem zero.
Agora considere a sequência de ações específicas que precisam ser executadas para encontrar as raízes da equação:
- Mova todos os membros para uma parte da expressão (por exemplo, para a esquerda) para que apenas 0 permaneça na outra parte (direita).
- Represente a soma dos termos em uma parte da equação como um produto de duas equações lineares.
- Defina cada uma das expressões lineares para zero e resolva-as.
Como você pode ver, o algoritmo de fatoração é bastante simples, porém, a maioria dos alunos tem dificuldades durante a implementação do 2º ponto, então vamos explicar com mais detalhes.
Para adivinhar quais 2 expressões lineares, quando multiplicadas entre si, darão a equação quadrática desejada, você precisa se lembrar de duas regras simples:
- Coeficientes lineares de duas expressões lineares, quando multiplicados entre si, devem dar o primeiro coeficiente da equação quadrática, ou seja, o número a.
- Os termos livres de expressões lineares, quando multiplicados, devem dar o número c da equação desejada.
Depois que todos os números de fatores são selecionados, eles devem ser multiplicados, e se eles derem a equação desejada, então vá para o passo 3 emo algoritmo acima, caso contrário você deve alterar os multiplicadores, mas você precisa fazer isso para que as regras acima sejam sempre seguidas.
Exemplo de solução pelo método de fatoração
Vamos mostrar claramente como o algoritmo para resolver uma equação quadrática é compor e encontrar raízes desconhecidas. Seja uma expressão arbitrária, por exemplo, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Passemos à sua solução, observando a sequência de pontos de 1 a 3, que consta do parágrafo anterior do artigo.
Item 1. Mova todos os termos para o lado esquerdo e organize-os na sequência clássica para uma equação quadrática. Temos a seguinte igualdade: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Dividimos em um produto de equações lineares. Como a=1 e c=-8, selecionaremos, por exemplo, tal produto (x-2)(x+4). Satisfaz as regras para encontrar os fatores esperados estabelecidos no parágrafo acima. Se abrirmos os colchetes, obtemos: -8+2x+x2, ou seja, obtemos exatamente a mesma expressão do lado esquerdo da equação. Isso significa que adivinhamos corretamente os multiplicadores e podemos prosseguir para a 3ª etapa do algoritmo.
Item 3. Igualando cada fator a zero, obtemos: x=-4 e x=2.
Se houver dúvidas sobre o resultado, é recomendável verificar substituindo as raízes encontradas na equação original. Neste caso, temos: 22+22-8=0 e 2(-4)+(-4)2 -8=0. Raízes encontradas corretamente.
Assim, usando o método de fatoração, descobrimos que a equação dada tem duas raízes de diferentestem: 2 e -4.
Método 2. Complemento ao quadrado inteiro
Na álgebra de equações quadradas, o método do multiplicador nem sempre pode ser usado, pois no caso de valores fracionários dos coeficientes da equação quadrática, surgem dificuldades na implementação do parágrafo 2 do algoritmo.
O método do quadrado completo, por sua vez, é universal e pode ser aplicado a equações quadráticas de qualquer tipo. Sua essência é realizar as seguintes operações:
- Os termos da equação contendo os coeficientes aeb devem ser transferidos para uma parte da equação e o termo livre c para a outra.
- A seguir, as partes da igualdade (direita e esquerda) devem ser divididas pelo coeficiente a, ou seja, apresentar a equação na forma reduzida (a=1).
- Soma os termos com coeficientes aeb para representar como um quadrado de uma equação linear. Como \u003d 1, o coeficiente linear será igual a 1, quanto ao termo livre da equação linear, então deve ser igual à metade do coeficiente linear da equação quadrática reduzida. Depois de traçado o quadrado da expressão linear, é necessário somar o número correspondente ao lado direito da igualdade, onde está localizado o termo livre, que é obtido pela expansão do quadrado.
- Tire a raiz quadrada com os sinais "+" e "-" e resolva a equação linear já obtida.
O algoritmo descrito pode, à primeira vista, ser percebido como bastante complicado, porém, na prática, é mais fácil de implementar do que o método de fatoração.
Um exemplo de solução usando o complemento quadrado completo
Vamos dar um exemplo de uma equação quadrática para treinar sua solução pelo método descrito no parágrafo anterior. Seja dada a equação quadrática -10 - 6x+5x2=0. Começamos a resolvê-la seguindo o algoritmo descrito acima.
Item 1. Usamos o método de transferência ao resolver equações quadradas, obtemos: - 6x+5x2=10.
Ponto 2. A forma reduzida desta equação é obtida dividindo-se pelo número 5 de cada um de seus membros (se ambas as partes forem divididas ou multiplicadas pelo mesmo número, a igualdade será preservada). Como resultado das transformações, obtemos: x2 - 6/5x=2.
Item 3. Metade do coeficiente - 6/5 é -6/10=-3/5, use este número para completar o quadrado, temos: (-3/5+x) 2 . Nós o expandimos e o termo livre resultante deve ser subtraído do lado esquerdo da igualdade para satisfazer a forma original da equação quadrática, que é equivalente a adicioná-lo ao lado direito. Como resultado, obtemos: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Calcule a raiz quadrada com sinais positivos e negativos e encontre as raízes: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. As duas raízes encontradas têm os seguintes valores: x1=(√59+3)/5 e x1=(3-√59)/5.
Como os cálculos realizados estão relacionados às raízes, há uma alta probabilidade de cometer um erro. Portanto, é recomendado verificar a correção das raízes x2 e x1. Obtemos para x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Substituir agorax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Assim, mostramos que as raízes encontradas da equação são verdadeiras.
Método 3. Aplicação da conhecida fórmula
Este método de resolução de equações quadráticas é talvez o mais simples, pois consiste em substituir os coeficientes em uma fórmula conhecida. Para usá-lo, você não precisa pensar em compilar algoritmos de solução, basta lembrar apenas uma fórmula. É mostrado na imagem acima.
Nesta fórmula, a expressão radical (b2-4ac) é chamada de discriminante (D). De seu valor depende de quais raízes são obtidas. Existem 3 casos:
- D>0, então a equação da raiz de dois tem reais e diferentes.
- D=0, então obtém-se a raiz, que pode ser calculada a partir da expressão x=-b/(a2).
- D<0, então você obtém duas raízes imaginárias diferentes, que são representadas como números complexos. Por exemplo, o número 3-5i é complexo, enquanto a unidade imaginária i satisfaz a propriedade: i2=-1.
Um exemplo de solução calculando o discriminante
Vamos dar um exemplo de equação quadrática para praticar usando a fórmula acima. Encontre as raízes para -3x2-6+3x+4x=0. Primeiro, calcule o valor do discriminante, temos: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Como D<0 é obtido, significa que as raízes da equação considerada são números complexos. Vamos encontrá-los substituindo o valor encontrado D na fórmula dada no parágrafo anterior (também é mostrado na foto acima). Obtemos: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Método 4. Usando o gráfico de funções
Também é chamado de método gráfico para resolver equações quadradas. Deve-se dizer que, via de regra, é usado não para análise quantitativa, mas qualitativa da equação em consideração.
A essência do método é traçar uma função quadrática y=f(x), que é uma parábola. Então, é necessário determinar em quais pontos a parábola intercepta o eixo x (X), eles serão as raízes da equação correspondente.
Para saber se uma parábola cruzará o eixo X, basta saber a posição de seu mínimo (máximo) e a direção de seus ramos (eles podem aumentar ou diminuir). Há duas propriedades desta curva para lembrar:
- Se a>0 - as parábolas do ramo são direcionadas para cima, ao contrário, se a<0, então elas descem.
- A coordenada mínima (máxima) de uma parábola é sempre x=-b/(2a).
Por exemplo, você precisa determinar se a equação -4x+5x2+10=0 tem raízes. A parábola correspondente será direcionada para cima, pois uma=5>0. Seu extremo tem coordenadas: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Como o mínimo da curva está acima do eixo x (y=9, 2), então ele não intercepta o último para qualquervalores x. Ou seja, a equação dada não tem raízes reais.
Teorema de Vieta
Como observado acima, este teorema é uma consequência do método nº 3, que se baseia na aplicação de uma fórmula com um discriminante. A essência do teorema de Vieta é que ele permite conectar os coeficientes da equação e suas raízes na igualdade. Vamos obter as igualdades correspondentes.
Vamos usar a fórmula para calcular as raízes através do discriminante. Adicionando duas raízes, obtemos: x1+x2=-b/a. Agora vamos multiplicar as raízes uma pela outra: x1x2, após uma série de simplificações obtemos o número c/a.
Assim, para resolver as equações quadráticas pelo teorema de Vieta, você pode usar as duas igualdades obtidas. Se todos os três coeficientes de uma equação são conhecidos, então as raízes podem ser encontradas resolvendo o sistema apropriado dessas duas equações.
Um exemplo de uso do teorema de Vieta
Você precisa escrever uma equação quadrática se souber que ela tem a forma x2+c=-bx e suas raízes são 3 e -4.
Como a=1 na equação em consideração, as fórmulas Vieta ficarão assim: x2+x1=-b e x2x1=p. Substituindo os valores conhecidos das raízes, obtemos: b=1 e c=-12. Como resultado, a equação reduzida quadrática restaurada terá a seguinte aparência: x2-12=-1x. Você pode substituir o valor das raízes nele e garantir que a igualdade seja válida.
Aplicação reversa do teorema de Vieta, ou seja, o cálculo das raízes porforma conhecida da equação, permite que pequenos inteiros a, b e c encontrem soluções rapidamente (intuitivamente).
