Um problema geométrico típico é encontrar o ângulo entre as linhas. Em um plano, se as equações das linhas são conhecidas, elas podem ser desenhadas e o ângulo medido com um transferidor. No entanto, este método é trabalhoso e nem sempre possível. Para descobrir o ângulo nomeado, não é necessário desenhar linhas retas, ele pode ser calculado. Este artigo responderá como isso é feito.
Uma reta e sua equação vetorial
Qualquer linha reta pode ser representada como um vetor que começa em -∞ e termina em +∞. Neste caso, o vetor passa por algum ponto no espaço. Assim, todos os vetores que podem ser desenhados entre quaisquer dois pontos em uma linha reta serão paralelos entre si. Esta definição permite que você defina a equação de uma linha reta na forma vetorial:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Aqui, o vetor com coordenadas (a; b; c) é o guia para esta linha que passa pelo ponto (x0; y0; z0). O parâmetro α permite transferir o ponto especificado para qualquer outro para esta linha. Esta equação é intuitiva e fácil de trabalhar tanto no espaço 3D quanto no plano. Para um plano, ele não conterá as coordenadas z e o terceiro componente do vetor de direção.
A conveniência de realizar cálculos e estudar a posição relativa de retas devido ao uso de uma equação vetorial se deve ao fato de que seu vetor direcionador é conhecido. Suas coordenadas são usadas para calcular o ângulo entre as linhas e a distância entre elas.
Equação geral para uma linha reta em um plano
Vamos escrever explicitamente a equação vetorial da reta para o caso bidimensional. Parece:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Agora calculamos o parâmetro α para cada igualdade e igualamos as partes certas das igualdades obtidas:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Abrindo os colchetes e transferindo todos os termos para um lado da igualdade, temos:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, onde A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
A expressão resultante é chamada de equação geral para uma linha reta dada no espaço bidimensional (em tridimensional esta equação corresponde a um plano paralelo ao eixo z, não a uma linha reta).
Se escrevermos explicitamente de y a x nesta expressão, obteremos a seguinte forma, conhecidacada aluno:
y=kx + p, onde k=-A/B, p=-C/B
Esta equação linear define exclusivamente uma linha reta no plano. É muito fácil desenhá-lo de acordo com a conhecida equação, para isso você deve colocar x=0 e y=0 por sua vez, marcar os pontos correspondentes no sistema de coordenadas e traçar uma linha reta conectando os pontos obtidos.
Fórmula do ângulo entre as linhas
Em um plano, duas linhas podem se cruzar ou ser paralelas uma à outra. No espaço, a estas opções junta-se a possibilidade da existência de linhas enviesadas. Qualquer que seja a versão da posição relativa desses objetos geométricos unidimensionais, o ângulo entre eles sempre pode ser determinado pela seguinte fórmula:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Onde v1¯ e v2¯ são os vetores guia para a linha 1 e 2, respectivamente. O numerador é o módulo do produto escalar para excluir ângulos obtusos e levar em conta apenas os agudos.
Os vetores v1¯ e v2¯ podem ser dados por duas ou três coordenadas, enquanto a fórmula do ângulo φ permanece in alterado.
Paralelismo e perpendicularidade de retas
Se o ângulo entre 2 linhas calculado usando a fórmula acima for 0o, então elas são ditas paralelas. Para determinar se as linhas são paralelas ou não, você não pode calcular o ânguloφ, basta mostrar que um vetor direcional pode ser representado por um vetor semelhante de outra reta, ou seja:
v1¯=qv2¯
Aqui q é algum número real.
Se as equações das retas são dadas como:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
então elas serão paralelas somente quando os coeficientes de x forem iguais, ou seja:
k1=k2
Este fato pode ser comprovado se considerarmos como o coeficiente k é expresso em termos das coordenadas do vetor diretor da reta.
Se o ângulo de interseção entre as linhas for 90o, então elas são chamadas de perpendiculares. Para determinar a perpendicularidade das retas, também não é necessário calcular o ângulo φ, para isso basta calcular apenas o produto escalar dos vetores v1¯ e v 2¯. Deve ser zero.
No caso de interseção de linhas retas no espaço, a fórmula do ângulo φ também pode ser usada. Neste caso, o resultado deve ser interpretado corretamente. O φ calculado mostra o ângulo entre os vetores de direção das linhas que não se cruzam e não são paralelas.
Tarefa 1. Linhas perpendiculares
Sabe-se que as equações das retas têm a forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
É necessário determinar se essas linhas sãoperpendicular.
Como mencionado acima, para responder a questão, basta calcular o produto escalar dos vetores das guias, que correspondem às coordenadas (1; 2) e (-4; 2). Temos:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Como obtivemos 0, isso significa que as linhas consideradas se cruzam em um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares.
Tarefa 2. Ângulo de interseção da linha
Sabe-se que duas equações para linhas retas têm a seguinte forma:
y=2x - 1;
y=-x + 3
É necessário encontrar o ângulo entre as linhas.
Como os coeficientes de x têm valores diferentes, essas linhas não são paralelas. Para encontrar o ângulo formado quando elas se cruzam, traduzimos cada uma das equações em uma forma vetorial.
Para a primeira linha temos:
(x; y)=(x; 2x - 1)
No lado direito da equação, temos um vetor cujas coordenadas dependem de x. Vamos representá-lo como uma soma de dois vetores, e as coordenadas do primeiro conterão a variável x, e as coordenadas do segundo consistirão exclusivamente em números:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Como x assume valores arbitrários, pode ser substituído pelo parâmetro α. A equação vetorial para a primeira linha se torna:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Fazemos as mesmas ações com a segunda equação da reta, obtemos:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Reescrevemos as equações originais na forma vetorial. Agora você pode usar a fórmula do ângulo de interseção, substituindo nela as coordenadas dos vetores diretores das linhas:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Assim, as linhas em consideração se cruzam em um ângulo de 71,565o, ou 1,249 radianos.
Este problema poderia ter sido resolvido de outra forma. Para fazer isso, foi necessário pegar dois pontos arbitrários de cada reta, compor vetores diretos deles e então usar a fórmula para φ.
