O método axiomático é uma forma de construir teorias científicas já estabelecidas. Baseia-se em argumentos, fatos, afirmações que não exigem prova ou refutação. Na verdade, esta versão do conhecimento é apresentada na forma de uma estrutura dedutiva, que inclui inicialmente uma fundamentação lógica do conteúdo a partir dos fundamentos - axiomas.
Este método não pode ser uma descoberta, mas é apenas um conceito classificatório. É mais adequado para o ensino. A base contém as disposições iniciais, e o restante das informações segue como consequência lógica. Onde está o método axiomático de construir uma teoria? Encontra-se no cerne da maioria das ciências modernas e estabelecidas.
Formação e desenvolvimento do conceito de método axiomático, definição da palavra
Em primeiro lugar, este conceito surgiu na Grécia Antiga graças a Euclides. Ele se tornou o fundador do método axiomático em geometria. Hoje é comum em todas as ciências, mas principalmente na matemática. Este método é formado com base em declarações estabelecidas, e teorias subsequentes são derivadas por construção lógica.
Isso é explicado da seguinte forma: existem palavras e conceitos quedefinido por outros termos. Como resultado, os pesquisadores chegaram à conclusão de que existem conclusões elementares que se justificam e são constantes - básicas, ou seja, axiomas. Por exemplo, ao provar um teorema, eles geralmente se baseiam em fatos que já estão bem estabelecidos e não requerem refutação.
No entanto, antes disso, eles precisavam ser fundamentados. No processo, verifica-se que uma afirmação irracional é tomada como um axioma. Com base em um conjunto de conceitos constantes, outros teoremas são provados. Eles formam a base da planimetria e são a estrutura lógica da geometria. Os axiomas estabelecidos nesta ciência são definidos como objetos de qualquer natureza. Eles, por sua vez, possuem propriedades que são especificadas em conceitos constantes.
Exploração adicional dos axiomas
O método foi considerado ideal até o século XIX. Os meios lógicos de busca de conceitos básicos não eram estudados naquela época, mas no sistema euclidiano pode-se observar a estrutura de obtenção de consequências significativas do método axiomático. A pesquisa do cientista mostrou a ideia de como obter um sistema completo de conhecimento geométrico baseado em um caminho puramente dedutivo. Eles receberam um número relativamente pequeno de axiomas afirmados que são comprovadamente verdadeiros.
Mérito das mentes gregas antigas
Euclides provou muitos conceitos, e alguns deles foram justificados. No entanto, a maioria atribui esses méritos a Pitágoras, Demócrito e Hipócrates. Este último compilou um curso completo de geometria. É verdade que mais tarde em Alexandria saiucoleção "Início", cujo autor foi Euclides. Em seguida, foi renomeado para "Geometria Elementar". Depois de um tempo, começaram a criticá-lo por alguns motivos:
- todos os valores foram construídos apenas com régua e compasso;
- geometria e aritmética foram separadas e provadas com números e conceitos válidos;
- axiomas, alguns deles, em particular, o quinto postulado, foram propostos para serem excluídos da lista geral.
Como resultado, a geometria não-euclidiana aparece no século 19, na qual não há postulado objetivamente verdadeiro. Esta ação deu impulso ao desenvolvimento do sistema geométrico. Assim, os pesquisadores matemáticos chegaram aos métodos de construção dedutivos.
Desenvolvimento do conhecimento matemático baseado em axiomas
Quando um novo sistema de geometria começou a se desenvolver, o método axiomático também mudou. Na matemática, eles começaram a se voltar com mais frequência para uma construção de teoria puramente dedutiva. Como resultado, todo um sistema de provas surgiu na lógica numérica moderna, que é a seção principal de toda a ciência. Na estrutura matemática começou a entender a necessidade de justificação.
Assim, no final do século, foram formadas tarefas claras e a construção de conceitos complexos, que de um teorema complexo foram reduzidos ao mais simples enunciado lógico. Assim, a geometria não-euclidiana estimulou uma base sólida para a continuação da existência do método axiomático, bem como para a resolução de problemas de natureza geral.construções matemáticas:
- consistência;
- plenitude;
- independência.
No processo, um método de interpretação surgiu e foi desenvolvido com sucesso. Esse método é descrito da seguinte forma: para cada conceito de saída na teoria, é definido um objeto matemático, cuja totalidade é chamada de campo. A declaração sobre os elementos especificados pode ser falsa ou verdadeira. Como resultado, as declarações são nomeadas dependendo das conclusões.
Características da teoria da interpretação
Em regra, o corpo e as propriedades também são considerados no sistema matemático, e este, por sua vez, pode se tornar axiomático. A interpretação comprova afirmações em que há relativa consistência. Uma opção adicional é uma série de fatos em que a teoria se torna contraditória.
De fato, a condição é cumprida em alguns casos. Como resultado, verifica-se que, se houver dois conceitos falsos ou verdadeiros nas declarações de uma das declarações, ela é considerada negativa ou positiva. Este método foi usado para provar a consistência da geometria de Euclides. Usando o método interpretativo, pode-se resolver a questão da independência dos sistemas de axiomas. Se você precisa refutar qualquer teoria, basta provar que um dos conceitos não é derivado do outro e é errôneo.
Entretanto, juntamente com declarações bem-sucedidas, o método também possui pontos fracos. A consistência e a independência dos sistemas de axiomas são resolvidas como questões que obtêm resultados relativos. A única conquista importante da interpretação édescoberta do papel da aritmética como estrutura em que a questão da consistência é reduzida a várias outras ciências.
Desenvolvimento moderno da matemática axiomática
O método axiomático começou a se desenvolver no trabalho de Gilbert. Em sua escola, o próprio conceito de teoria e sistema formal foi esclarecido. Como resultado, surgiu um sistema geral e os objetos matemáticos tornaram-se precisos. Além disso, tornou-se possível resolver as questões de justificação. Assim, um sistema formal é construído por uma classe exata, que contém subsistemas de fórmulas e teoremas.
Para construir essa estrutura, você só precisa se guiar por conveniências técnicas, pois elas não possuem carga semântica. Eles podem ser inscritos com sinais, símbolos. Ou seja, de fato, o próprio sistema é construído de tal forma que a teoria formal pode ser aplicada de forma adequada e completa.
Como resultado, um objetivo ou tarefa matemática específica é despejado em uma teoria baseada em conteúdo factual ou raciocínio dedutivo. A linguagem da ciência numérica é transferida para um sistema formal, no processo qualquer expressão concreta e significativa é determinada pela fórmula.
Método de formalização
No estado natural das coisas, tal método será capaz de resolver questões globais como consistência, bem como construir uma essência positiva das teorias matemáticas de acordo com as fórmulas derivadas. E basicamente tudo isso será resolvido por um sistema formal baseado em declarações comprovadas. As teorias matemáticas eram constantemente complicadas por justificativas, eGilbert propôs investigar essa estrutura usando métodos finitos. Mas este programa falhou. Os resultados de Gödel já no século XX levaram às seguintes conclusões:
- consistência natural é impossível devido ao fato de que a aritmética formalizada ou outra ciência similar deste sistema será incompleta;
- fórmulas insolúveis apareceram;
- afirmações não podem ser comprovadas.
Julgamentos verdadeiros e acabamento finito razoável são considerados formalizáveis. Com isso em mente, o método axiomático tem limites e possibilidades certos e claros dentro dessa teoria.
Resultados do desenvolvimento de axiomas nos trabalhos de matemáticos
Apesar do fato de que alguns julgamentos foram refutados e não desenvolvidos adequadamente, o método de conceitos constantes desempenha um papel significativo na formação dos fundamentos da matemática. Além disso, a interpretação e o método axiomático na ciência revelaram os resultados fundamentais de consistência, independência de declarações de escolha e hipóteses em teoria múltipla.
Ao abordar a questão da consistência, o principal é aplicar não apenas os conceitos estabelecidos. Eles também precisam ser complementados com ideias, conceitos e meios de acabamento finito. Nesse caso, são consideradas várias visões, métodos, teorias, que devem levar em conta o significado lógico e a justificativa.
A consistência do sistema formal indica um acabamento similar da aritmética, que se baseia em indução, contagem, número transfinito. No campo científico, a axiomatização é o mais importanteuma ferramenta que possui conceitos e afirmações irrefutáveis que são tomadas como base.
A essência das afirmações iniciais e seu papel nas teorias
A avaliação de um método axiomático indica que alguma estrutura está em sua essência. Este sistema é construído a partir da identificação do conceito subjacente e das afirmações fundamentais que são indefinidas. A mesma coisa acontece com teoremas que são considerados originais e são aceitos sem demonstração. Nas ciências naturais, tais afirmações são apoiadas por regras, suposições, leis.
Em seguida, ocorre o processo de fixação das bases de raciocínio estabelecidas. Como regra, é imediatamente indicado que outro é deduzido de uma posição e, no processo, o restante sai, que, em essência, coincide com o método dedutivo.
Características do sistema nos tempos modernos
O sistema axiomático inclui:
- conclusões lógicas;
- termos e definições;
- afirmações e conceitos parcialmente incorretos.
Na ciência moderna, esse método perdeu sua abstração. A axiomatização geométrica euclidiana foi baseada em proposições intuitivas e verdadeiras. E a teoria foi interpretada de uma forma única e natural. Hoje, um axioma é uma disposição óbvia em si mesma, e um acordo, e qualquer acordo, pode funcionar como um conceito inicial que não requer justificação. Como resultado, os valores originais podem estar longe de ser descritivos. Este método requer criatividade, conhecimento de relacionamentos e teoria subjacente.
Princípios básicos para derivar conclusões
Método dedutivamente axiomático é o conhecimento científico, construído de acordo com um determinado esquema, que se baseia em hipóteses corretamente realizadas, derivando afirmações sobre fatos empíricos. Tal conclusão é construída com base em estruturas lógicas, por derivação rígida. Axiomas são declarações inicialmente irrefutáveis que não requerem prova.
Durante a dedução, alguns requisitos são aplicados aos conceitos iniciais: consistência, integralidade, independência. Como mostra a prática, a primeira condição é baseada no conhecimento lógico formal. Ou seja, a teoria não deve ter os significados de verdade e falsidade, pois não terá mais significado e valor.
Se esta condição não for atendida, então ela é considerada incompatível e qualquer significado é perdido nela, pois a carga semântica entre verdade e falsidade é perdida. Dedutivamente, o método axiomático é uma forma de construir e fundamentar o conhecimento científico.
Aplicação prática do método
O método axiomático de construção do conhecimento científico tem aplicação prática. De fato, essa forma influencia e tem um significado global para a matemática, embora esse conhecimento já tenha atingido seu auge. Exemplos do método axiomático são os seguintes:
- planos afins têm três declarações e uma definição;
- teoria da equivalência tem três provas;
- relações binárias são divididas em um sistema de definições, conceitos e exercícios adicionais.
Se você quiser formular o significado original, você precisa conhecer a natureza dos conjuntos e elementos. Em essência, o método axiomático formou a base de vários campos da ciência.
