Triângulo é uma das formas geométricas mais comuns, com a qual já estamos familiarizados no ensino fundamental. A questão de como encontrar a área de um triângulo é enfrentada por todos os alunos nas aulas de geometria. Então, quais são as características de encontrar a área de uma determinada figura que pode ser distinguida? Neste artigo, consideraremos as fórmulas básicas necessárias para concluir tal tarefa, além de analisar os tipos de triângulos.
Tipos de triângulos
Você pode encontrar a área de um triângulo de maneiras completamente diferentes, pois na geometria existe mais de um tipo de figura contendo três ângulos. Estas espécies incluem:
- Triângulo agudo.
- Obt-angular.
- Equilateral (correto).
- Triângulo retângulo.
- Isósceles.
Vamos dar uma olhada em cada um dos tipos de triângulos existentes.
Agudotriângulo
Tal figura geométrica é considerada a mais comum na resolução de problemas geométricos. Quando for necessário desenhar um triângulo arbitrário, esta opção vem em socorro.
Em um triângulo agudo, como o nome indica, todos os ângulos são agudos e somam 180°.
Triângulo obt-angular
Este triângulo também é muito comum, mas é um pouco menos comum que o de ângulo agudo. Por exemplo, ao resolver triângulos (ou seja, você conhece vários de seus lados e ângulos e precisa encontrar os elementos restantes), às vezes você precisa determinar se o ângulo é obtuso ou não. O cosseno de um ângulo obtuso é um número negativo.
Em um triângulo obtuso, o valor de um dos ângulos excede 90°, então os dois ângulos restantes podem assumir valores pequenos (por exemplo, 15° ou até 3°).
Para encontrar a área de um triângulo desse tipo, você precisa conhecer algumas nuances, sobre as quais falaremos mais adiante.
Triângulos regulares e isósceles
Um polígono regular é uma figura que inclui n ângulos e todos os lados e ângulos são iguais. Este é o triângulo retângulo. Como a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180°, cada um dos três ângulos é 60°.
Um triângulo regular, devido à sua propriedade, também é chamado de figura equilátero.
Também vale a pena notar que emum triângulo regular só pode ser inscrito com um círculo e apenas um círculo pode ser circunscrito ao seu redor, e seus centros estão localizados em um ponto.
Além do tipo equilátero, pode-se selecionar também um triângulo isósceles, que difere um pouco dele. Em tal triângulo, dois lados e dois ângulos são iguais entre si, e o terceiro lado (ao qual os ângulos iguais se unem) é a base.
A figura mostra um triângulo isósceles DEF, cujos ângulos D e F são iguais, e DF é a base.
Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo tem esse nome porque um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90°. Os outros dois ângulos somam 90°.
O maior lado desse triângulo, oposto ao ângulo de 90°, é a hipotenusa, enquanto os outros dois lados são os catetos. Para este tipo de triângulos, aplica-se o teorema de Pitágoras:
A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.
A figura mostra um triângulo retângulo BAC com hipotenusa AC e catetos AB e BC.
Para encontrar a área de um triângulo com um ângulo reto, você precisa saber os valores numéricos de seus catetos.
Vamos para as fórmulas para encontrar a área desta figura.
Fórmulas básicas de área
Na geometria, existem duas fórmulas que são adequadas para encontrar a área da maioria dos tipos de triângulos, ou seja, para ângulo agudo, ângulo obtuso, regular etriângulos isósceles. Vamos analisar cada um deles.
Por lado e altura
Esta fórmula é universal para encontrar a área da figura que estamos considerando. Para fazer isso, basta conhecer o comprimento do lado e o comprimento da altura desenhada para ele. A fórmula em si (metade do produto da base pela altura) fica assim:
S=½AH, onde A é o lado do triângulo dado e H é a altura do triângulo.
Por exemplo, para encontrar a área de um triângulo de ângulo agudo ACB, você precisa multiplicar seu lado AB pela altura CD e dividir o valor resultante por dois.
No entanto, nem sempre é fácil encontrar a área de um triângulo dessa maneira. Por exemplo, para usar esta fórmula para um triângulo obtuso, você precisa continuar um de seus lados e só depois disso desenhar uma altura para ele.
Na prática, esta fórmula é usada com mais frequência do que outras.
Dos dois lados e um canto
Esta fórmula, como a anterior, é adequada para a maioria dos triângulos e em seu significado é uma consequência da fórmula para encontrar a área pelo lado e a altura de um triângulo. Ou seja, a fórmula em consideração pode ser facilmente derivada da anterior. O texto dela fica assim:
S=½sinOAB, onde A e B são lados de um triângulo e O é o ângulo entre os lados A e B.
Lembre-se de que o seno de um ângulo pode ser visto em uma tabela especial com o nome do notável matemático soviético V. M. Bradis.
E agora vamos para outras fórmulas,adequado apenas para tipos excepcionais de triângulos.
Área de um triângulo retângulo
Além da fórmula universal, que inclui a necessidade de desenhar uma altura em um triângulo, a área de um triângulo contendo um ângulo reto pode ser encontrada por seus catetos.
Assim, a área de um triângulo contendo um ângulo reto é metade do produto de seus catetos, ou:
S=½ab, onde a e b são os catetos de um triângulo retângulo.
Triângulo Regular
Este tipo de figuras geométricas se diferencia pelo fato de sua área poder ser encontrada com o valor especificado de apenas um de seus lados (já que todos os lados de um triângulo regular são iguais). Então, tendo encontrado a tarefa de "encontrar a área de um triângulo quando os lados são iguais", você precisa usar a seguinte fórmula:
S=A2√3/4, onde A é o lado de um triângulo equilátero.
Fórmula de Heron
A última opção para encontrar a área de um triângulo é a fórmula de Heron. Para usá-lo, você precisa saber os comprimentos dos três lados da figura. A fórmula de Heron fica assim:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), onde a, b e c são os lados deste triângulo.
Às vezes a tarefa dada: "a área de um triângulo regular - encontre o comprimento de seu lado." Neste caso, você precisa usar a fórmula já conhecida para encontrar a área de um triângulo regular e derivar o valor do lado (ou seu quadrado) dele:
A2=4S / √3.
Problemas do exame
Em tarefas GIAExistem muitas fórmulas na matemática. Além disso, muitas vezes é necessário encontrar a área de um triângulo em papel quadriculado.
Neste caso, é mais conveniente desenhar a altura para um dos lados da figura, determinar seu comprimento por células e usar a fórmula universal para encontrar a área:
S=½AH.
Então, depois de estudar as fórmulas apresentadas no artigo, você não terá problemas para encontrar a área de um triângulo de qualquer tipo.
