Provavelmente, o conceito de derivada é familiar para cada um de nós desde a escola. Normalmente os alunos têm dificuldade em entender isso, sem dúvida, coisa muito importante. Ele é usado ativamente em várias áreas da vida das pessoas, e muitos desenvolvimentos de engenharia foram baseados precisamente em cálculos matemáticos obtidos usando a derivada. Mas antes de prosseguir com a análise do que são derivadas de números, como calculá-las e onde elas são úteis para nós, vamos mergulhar na história.
Histórico
O conceito de derivada, que é a base da análise matemática, foi descoberto (seria melhor dizer "inventado", porque não existia na natureza como tal) por Isaac Newton, que todos conhecemos desde a descoberta da lei da gravitação universal. Foi ele quem primeiro aplicou esse conceito na física para vincular a natureza da velocidade e a aceleração dos corpos. E muitos cientistas ainda elogiam Newton por esta magnífica invenção, porque na verdade ele inventou a base do cálculo diferencial e integral, na verdade, a base de toda uma área da matemática chamada "cálculo". Se naquela época o Prêmio Nobel, Newton o teria recebido com alta probabilidade várias vezes.
Não sem outras grandes mentes. Exceto Newtongênios matemáticos eminentes como Leonhard Euler, Louis Lagrange e Gottfried Leibniz trabalharam no desenvolvimento da derivada e da integral. É graças a eles que recebemos a teoria do cálculo diferencial na forma em que existe até hoje. Aliás, foi Leibniz quem descobriu o significado geométrico da derivada, que acabou sendo nada mais que a tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função.
O que são derivadas de números? Vamos repetir um pouco o que passamos na escola.
O que é uma derivada?
Este conceito pode ser definido de várias maneiras. A explicação mais simples é que a derivada é a taxa de variação da função. Imagine um gráfico de alguma função y de x. Se não for reto, então tem algumas curvas no gráfico, períodos de aumento e diminuição. Se tomarmos algum intervalo infinitamente pequeno deste gráfico, será um segmento de reta. Assim, a razão entre o tamanho desse segmento infinitamente pequeno ao longo da coordenada y e o tamanho ao longo da coordenada x será a derivada dessa função em um determinado ponto. Se considerarmos a função como um todo, e não em um ponto específico, obteremos uma função derivada, ou seja, uma certa dependência de y em x.
Além do significado físico da derivada como taxa de variação de uma função, existe também um significado geométrico. Vamos falar sobre ele agora.
Sentido Geométrico
As próprias derivadas dos números representam um certo número, que, sem o devido entendimento, não carreganenhum ponto. Acontece que a derivada não mostra apenas a taxa de crescimento ou diminuição da função, mas também a tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função em um determinado ponto. Não é uma definição muito clara. Vamos analisá-lo com mais detalhes. Digamos que temos um gráfico de uma função (para juros, vamos fazer uma curva). Tem um número infinito de pontos, mas existem áreas onde apenas um único ponto tem um máximo ou mínimo. Através de qualquer um desses pontos é possível traçar uma linha que seria perpendicular ao gráfico da função naquele ponto. Tal linha será chamada de tangente. Digamos que gastamos até a interseção com o eixo OX. Assim, o ângulo obtido entre a tangente e o eixo OX será determinado pela derivada. Mais precisamente, a tangente desse ângulo será igual a ele.
Vamos falar um pouco sobre casos especiais e analisar derivadas de números.
Casos especiais
Como já dissemos, derivadas de números são os valores da derivada em um determinado ponto. Por exemplo, vamos pegar a função y=x2. A derivada x é um número e, no caso geral, uma função igual a 2x. Se precisarmos calcular a derivada, digamos, no ponto x0=1, obtemos y'(1)=21=2. Tudo é muito simples. Um caso interessante é a derivada de um número complexo. Não entraremos em uma explicação detalhada do que é um número complexo. Vamos apenas dizer que este é um número que contém a chamada unidade imaginária - um número cujo quadrado é -1. O cálculo de tal derivado só é possível se os seguintescondições:
1) Deve haver derivadas parciais de primeira ordem das partes real e imaginária em relação a Y e X.
2) As condições de Cauchy-Riemann associadas à igualdade das derivadas parciais descritas no primeiro parágrafo são atendidas.
Outro caso interessante, embora não tão complicado quanto o anterior, é a derivada de um número negativo. Na verdade, qualquer número negativo pode ser representado como um número positivo multiplicado por -1. Bem, a derivada da constante e da função é igual à constante multiplicada pela derivada da função.
Será interessante aprender sobre o papel da derivada na vida cotidiana, e é isso que discutiremos agora.
Aplicativo
Provavelmente, cada um de nós pelo menos uma vez na vida se pega pensando que é improvável que a matemática seja útil para ele. E uma coisa tão complicada como um derivado, provavelmente, não tem aplicação alguma. De fato, a matemática é uma ciência fundamental, e todos os seus frutos são desenvolvidos principalmente pela física, química, astronomia e até economia. A derivada foi o início da análise matemática, que nos deu a capacidade de tirar conclusões dos gráficos das funções, e aprendemos a interpretar as leis da natureza e aproveitá-las graças a isso.
Conclusão
Claro, nem todos podem precisar de um derivado na vida real. Mas a matemática desenvolve a lógica, que certamente será necessária. Não é à toa que a matemática é chamada de rainha das ciências: ela forma a base para a compreensão de outras áreas do conhecimento.
