Uma das seções fundamentais da análise matemática é o cálculo integral. Abrange o mais amplo campo de objetos, onde o primeiro é a integral indefinida. Vale a pena posicioná-lo como chave, que mesmo no ensino médio revela um número cada vez maior de perspectivas e oportunidades que a matemática superior descreve.
Aparência
À primeira vista, a integral parece totalmente moderna, relevante, mas na prática acontece que ela apareceu já em 1800 aC. O Egito é oficialmente considerado a pátria, uma vez que evidências anteriores de sua existência não chegaram até nós. Ele, por f alta de informação, todo esse tempo se posicionou simplesmente como um fenômeno. Ele mais uma vez confirmou o nível de desenvolvimento da ciência entre os povos daquela época. Finalmente, foram encontradas as obras dos antigos matemáticos gregos que datam do século IV aC. Eles descreveram um método em que uma integral indefinida era usada, cuja essência era encontrar o volume ou a área de uma figura curvilínea (tridimensionale planos bidimensionais, respectivamente). O princípio de cálculo baseava-se na divisão do valor original em componentes infinitesimais, desde que seu volume (área) já fosse conhecido. Com o tempo, o método cresceu, Arquimedes o usou para encontrar a área de uma parábola. Cálculos semelhantes foram realizados ao mesmo tempo por cientistas na China antiga, e eles eram completamente independentes de seus colegas gregos na ciência.
Desenvolvimento
O próximo avanço no século 11 dC foi o trabalho do cientista árabe "universal" Abu Ali al-Basri, que ultrapassou os limites do que já era conhecido, derivando fórmulas baseadas na integral para calcular as somas de linhas e as somas de potências da primeira à quarta, aplicando para isso o método de indução matemática que conhecemos.
As mentes dos tempos modernos admiram como os antigos egípcios criaram monumentos arquitetônicos incríveis sem nenhum dispositivo especial, exceto talvez suas mãos, mas o poder da mente dos cientistas da época não é menos milagroso? Comparado com hoje, sua vida parece quase primitiva, mas a solução de integrais indefinidas foi derivada em todos os lugares e usada na prática para desenvolvimento posterior.
O próximo passo ocorreu no século 16, quando o matemático italiano Cavalieri desenvolveu o método dos indivisíveis, que foi adotado por Pierre Fermat. Foram essas duas personalidades que lançaram as bases para o cálculo integral moderno, que é conhecido no momento. Eles conectaram os conceitos de diferenciação e integração, que antes eramtratados como unidades autônomas. Em geral, a matemática daquela época era fragmentada, as partículas de conclusões existiam por conta própria, tendo um alcance limitado. O caminho da unificação e busca de um terreno comum era o único verdadeiro naquele momento, graças ao qual a análise matemática moderna teve a oportunidade de crescer e se desenvolver.
Tudo mudou ao longo do tempo, incluindo a notação da integral. De um modo geral, os cientistas a denotavam por todos os meios, por exemplo, Newton usou um ícone quadrado no qual colocou uma função integrável ou simplesmente a colocou ao lado dela.
Essa inconsistência continuou até o século XVII, quando o cientista Gottfried Leibniz, um marco para toda a teoria da análise matemática, apresentou o símbolo tão familiar para nós. O "S" alongado é de fato baseado nesta letra do alfabeto latino, pois denota a soma das primitivas. A integral recebeu esse nome graças a Jacob Bernoulli 15 anos depois.
Definição formal
A integral indefinida depende diretamente da definição da primitiva, então vamos considerá-la primeiro.
Uma antiderivada é uma função que é a inversa de uma derivada, na prática também é chamada de primitiva. Caso contrário: a primitiva de uma função d é uma função D cuja derivada é igual a v V'=v. A busca pela primitiva é o cálculo da integral indefinida, e esse processo em si é chamado de integração.
Exemplo:
Função s(y)=y3, e sua antiderivada S(y)=(y4/4).
O conjunto de todas as primitivas da função em consideração é a integral indefinida, denotada da seguinte forma: ∫v(x)dx.
Devido ao fato de que V(x) é apenas uma antiderivada da função original, a expressão ocorre: ∫v(x)dx=V(x) + C, onde C é uma constante. Uma constante arbitrária é qualquer constante, pois sua derivada é igual a zero.
Propriedades
As propriedades que a integral indefinida possui são baseadas na definição principal e nas propriedades das derivadas.
Vamos ver os pontos principais:
- a integral da derivada da antiderivada é a própria antiderivada mais uma constante arbitrária С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- a derivada da integral da função é a função original (∫v(x)dx)'=v(x);
- constante é retirada sob o sinal de integral ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, onde k é arbitrário;
- a integral obtida da soma é identicamente igual à soma das integrais ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Das duas últimas propriedades, podemos concluir que a integral indefinida é linear. Graças a isso, temos: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Para consolidar, considere exemplos de resolução de integrais indefinidas.
É necessário encontrar a integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Do exemplo podemos concluir:não sabe como resolver integrais indefinidas? Basta encontrar todos os primitivos! Mas os princípios da busca serão considerados abaixo.
Métodos e exemplos
Para resolver a integral, você pode recorrer aos seguintes métodos:
- use a tabela preparada;
- integrar por partes;
- integrar alterando a variável;
- trazendo sob o sinal diferencial.
Tabelas
A maneira mais fácil e agradável. No momento, a análise matemática possui tabelas bastante extensas nas quais as fórmulas básicas das integrais indefinidas são escritas. Em outras palavras, existem modelos que foram desenvolvidos antes de você e para você, resta apenas usá-los. Aqui está uma lista das principais posições da tabela para as quais você pode derivar quase todos os exemplos que têm uma solução:
- ∫0dy=C, onde C é uma constante;
- ∫dy=y + C, onde C é uma constante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, onde C é uma constante e n - não um número;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, onde C é uma constante;
- ∫eydy=ey + C, onde C é uma constante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, onde C é uma constante;
- ∫cosydy=siny + C, onde C é uma constante;
- ∫sinydy=-cosy + C, onde C é uma constante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, onde C é uma constante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, onde C é uma constante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, onde C é uma constante;
- ∫chydy=tímido + C, onde C -constante;
- ∫shydy=chy + C, onde C é uma constante.
Se necessário, dê alguns passos, traga o integrando para uma forma tabular e aproveite a vitória. Exemplo: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sen(5x - 2) + C.
De acordo com a solução, fica claro que para o exemplo tabular, o integrando não possui um fator de 5. Nós o somamos, multiplicando-o por 1/5 em paralelo para que a expressão geral não mude.
Integração por partes
Considere duas funções - z(y) e x(y). Eles devem ser continuamente diferenciáveis em todo o domínio de definição. De acordo com uma das propriedades de diferenciação, temos: d(xz)=xdz + zdx. Integrando ambas as partes da equação, obtemos: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Reescrevendo a igualdade resultante, obtemos uma fórmula que descreve o método de integração por partes: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Por que é necessário? A questão é que alguns exemplos podem ser simplificados, condicionalmente falando, reduzindo ∫zdx para ∫xdz se este último estiver próximo da forma tabular. Além disso, esta fórmula pode ser aplicada mais de uma vez, obtendo resultados ótimos.
Como resolver integrais indefinidas desta forma:
precisa calcular ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
precisa calcular ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Substituição de variável
Este princípio de resolução de integrais indefinidas não é menos procurado do que os dois anteriores, embora seja mais complicado. O método é o seguinte: seja V(x) a integral de alguma função v(x). No caso de a própria integral no exemplo parecer complexa, há uma alta probabilidade de ficar confuso e tomar o caminho errado da solução. Para evitar isso, pratica-se a transição da variável x para z, na qual a expressão geral é simplificada visualmente mantendo a dependência de z em x.
Matematicamente fica assim: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), onde x=y(z) é uma substituição. E, claro, a função inversa z=y-1(x) descreve completamente a dependência e o relacionamento das variáveis. Nota importante - o diferencial dx é necessariamente substituído por um novo diferencial dz, pois a substituição de uma variável na integral indefinida implica sua substituição em todos os lugares, e não apenas no integrando.
Exemplo:
precisa encontrar ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Aplica a substituição z=(s+1)/(s2+2s-5). Então dz=2sds=2+2(s+1)ds(s+1)ds=dz/2. Como resultado, obtemos a seguinte expressão, que é muito fácil de calcular:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
precisa encontrar a integral∫2sesdx
Para resolver, reescrevemos a expressão da seguinte forma:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Denote por a=2e (este passo não é um substituto para o argumento, ele ainda é s), nós trazemos nossa integral aparentemente complexa para uma forma tabular elementar:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Trazendo sob o sinal diferencial
Em geral, este método de integrais indefinidas é um irmão gêmeo do princípio de mudança variável, mas existem diferenças no processo de projeto. Vamos dar uma olhada mais de perto.
Se ∫v(x)dx=V(x) + C e y=z(x), então ∫v(y)dy=V(y) + C.
Neste caso, não se deve esquecer as triviais transformações integrais, entre as quais:
- dx=d(x + a), onde a é qualquer constante;
- dx=(1 / a)d(ax + b), onde a é novamente uma constante, mas não igual a zero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(senx).
Se considerarmos o caso geral quando calculamos a integral indefinida, os exemplos podem ser resumidos na fórmula geral w'(x)dx=dw(x).
Exemplos:
precisa encontrar ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫pecados/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Ajuda Online
Em alguns casos, cuja culpa pode ser preguiça ou necessidade urgente, você pode usar dicas online, ou melhor, usar a calculadora de integral indefinida. Apesar de toda a aparente complexidade e contestabilidade das integrais, sua solução está sujeita a um certo algoritmo, que se baseia no princípio "se não…, então…".
Claro, tal calculadora não dominará exemplos especialmente intrincados, pois há casos em que a solução deve ser encontrada artificialmente, "forçando" introduzindo certos elementos no processo, porque o resultado não pode ser alcançado em maneiras. Apesar de toda a polêmica dessa afirmação, ela é verdadeira, pois a matemática, em princípio, é uma ciência abstrata, e considera a necessidade de ampliar os limites das possibilidades como sua tarefa primordial. De fato, é extremamente difícil mover-se para cima e desenvolver de acordo com teorias suaves, então você não deve supor que os exemplos de resolução de integrais indefinidas que demos são o cúmulo das possibilidades. Mas voltando ao lado técnico das coisas. Pelo menos para verificar os cálculos, você pode usar os serviços em que tudo foi escrito antes de nós. Se houver necessidade de cálculo automático de uma expressão complexa, eles não podem ser dispensados, você terá que recorrer a softwares mais sérios. Vale a pena prestar atenção antes de tudo ao ambiente MatLab.
Aplicativo
A solução de integrais indefinidas à primeira vista parece completamente fora da realidade, pois é difícil ver as áreas óbvias de aplicação. De fato, eles não podem ser usados diretamente em qualquer lugar, mas são considerados um elemento intermediário necessário no processo de derivação de soluções usadas na prática. Assim, a integração é inversa à diferenciação, pelo que participa ativamente no processo de resolução de equações.
Por sua vez, essas equações têm impacto direto na solução de problemas mecânicos, no cálculo de trajetórias e condutividade térmica - em suma, tudo o que compõe o presente e molda o futuro. A integral indefinida, cujos exemplos examinamos acima, é trivial apenas à primeira vista, pois é a base para fazer mais e mais novas descobertas.
