Mesmo na escola, todos os alunos se familiarizam com o conceito de "geometria euclidiana", cujas principais disposições se concentram em vários axiomas baseados em elementos geométricos como ponto, plano, linha, movimento. Todos eles juntos formam o que há muito se conhece sob o termo "espaço euclidiano".
O espaço euclidiano, cuja definição é baseada no conceito de multiplicação escalar de vetores, é um caso especial de espaço linear (afim) que satisfaz uma série de requisitos. Primeiro, o produto escalar de vetores é absolutamente simétrico, ou seja, o vetor com coordenadas (x;y) é quantitativamente idêntico ao vetor com coordenadas (y;x), mas com direção oposta.
Segundo, se for realizado o produto escalar de um vetor consigo mesmo, então o resultado desta ação será positivo. A única exceção será o caso em que as coordenadas inicial e final desse vetor sejam iguais a zero: neste caso, seu produto consigo mesmo também será igual a zero.
Em terceiro lugar, o produto escalar é distributivo, ou seja, é possível decompor uma de suas coordenadas na soma de dois valores, o que não acarretará nenhuma alteração no resultado final da multiplicação escalar de vetores. Finalmente, em quarto lugar, quando os vetores são multiplicados pelo mesmo número real, seu produto escalar também aumentará pelo mesmo fator.
Se todas essas quatro condições forem atendidas, podemos dizer com confiança que temos um espaço euclidiano.
O espaço euclidiano do ponto de vista prático pode ser caracterizado pelos seguintes exemplos específicos:
- O caso mais simples é a presença de um conjunto de vetores com um produto escalar definido de acordo com as leis básicas da geometria.
- O espaço euclidiano também será obtido se por vetores entendermos um certo conjunto finito de números reais com uma dada fórmula descrevendo sua soma ou produto escalar.
- Um caso especial de espaço euclidiano é o chamado espaço zero, que é obtido se o comprimento escalar de ambos os vetores for igual a zero.
O espaço euclidiano tem várias propriedades específicas. Em primeiro lugar, o fator escalar pode ser retirado dos colchetes tanto do primeiro quanto do segundo fator do produto escalar, o resultado disso não mudará de forma alguma. Em segundo lugar, juntamente com a distributividade do primeiro elemento do escalarproduto, a distributividade do segundo elemento também atua. Além disso, além da soma escalar dos vetores, a distributividade também ocorre no caso da subtração vetorial. Finalmente, em terceiro lugar, quando um vetor é multiplicado escalarmente por zero, o resultado também será zero.
Assim, o espaço euclidiano é o conceito geométrico mais importante usado na resolução de problemas com o arranjo mútuo de vetores entre si, que é caracterizado por um conceito como o produto escalar.
